Question

В равнобедеренном треугольнике ABC с основанием AB проведена биссектриса AD. Оказалось, что CD=AD. Докажите, что при этом будет выполнено следующее равенство: AB²=BC*BD. (Пожалуйста, с объяснением и рисунком)

Answer 1

Решение во вложенном файле.

Answer 2

Давайте рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AB и биссектрисой AD, где CD = AD. Мы хотим доказать, что AB² = BC * BD.

Посмотрим на треугольник ACD. Так как AD - биссектриса, то угол CAD = угол BAD. Также, у нас есть равенство CD = AD.

Теперь рассмотрим треугольники ABD и CBD. В них у нас есть две пары равных углов: угол ABD = угол CBD (так как это равнобедренный треугольник) и угол BAD = угол CAD (из-за биссектрисы). Также, у нас есть равенство CD = AD.

Теперь мы можем рассмотреть отношение длин сторон в этих треугольниках, используя закон синусов:

\[\frac{BD}{AB} = \frac{\sin \angle ABD}{\sin \angle ADB} \]

\[\frac{BC}{AB} = \frac{\sin \angle CBD}{\sin \angle CDB} \]

Так как угол ABD = угол CBD и угол ADB = угол CDB, мы можем упростить эти отношения:

\[\frac{BD}{AB} = \frac{\sin \angle ABD}{\sin \angle ABD} = 1 \]

\[\frac{BC}{AB} = \frac{\sin \angle CBD}{\sin \angle CBD} = 1 \]

Таким образом, у нас есть:

\[ BD = AB \]

\[ BC = AB \]

Теперь мы можем подставить это в исходное уравнение:

\[ AB^2 = BC \cdot BD \]

\[ AB^2 = AB \cdot AB \]

\[ AB^2 = AB^2 \]

Это исходное уравнение верно, и мы успешно доказали, что в равнобедренном треугольнике с биссектрисой, где CD = AD, выполняется равенство \( AB^2 = BC \cdot BD \).