Question

На стороне аС прямоугольного треугольника АБС с прямым углом С как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону АБ в точке К. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника БСК , если АС=13, АК=5

Answer 1

CК перпендикулярно АВ, поскольку угол СКА вписаный и опирается на диаметр. Треугольник АСК имеет в качестве сторон пифагоровы числа 5 и 13, поэтому второй катет этого треугольника СК = 12. Треугольник ВСК подобен АСК, но имеет в качестве меньшего катета СК = 12, то есть его гипотенуза равна 13*12/5, а радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, то есть он равен 13*12/10 = 15,6.  

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию более подробно. У нас есть прямоугольный треугольник \( \triangle ABC \) с прямым углом в точке \( C \). Окружность описана вокруг этого треугольника, причем сторона \( AB \) является диаметром этой окружности. Пусть точка пересечения окружности и стороны \( AB \) обозначается как \( K \).

Так как сторона \( AB \) является диаметром окружности, то радиус окружности будет половиной длины стороны \( AB \).

Для начала нам нужно найти длину стороны \( AB \). Мы знаем, что \( AC = 13 \) и \( AK = 5 \).

Используем теорему Пифагора, так как у нас есть прямоугольный треугольник:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Также, зная, что \( AK \) и \( KB \) - это отрезки \( AK \), мы можем записать:

\[ AB = AK + KB \]

Теперь мы можем подставить значения и решить уравнение:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] \[ (AK + KB)^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставляем \( AK = 5 \) и решаем уравнение:

\[ (5 + KB)^2 = 13^2 + BC^2 \]

Решаем для \( KB \):

\[ KB^2 + 10KB + 25 = 169 + BC^2 \]

Теперь у нас есть уравнение для длины \( KB \).

Теперь, когда мы нашли длину стороны \( AB \), мы можем найти радиус окружности:

\[ \text{Радиус} = \frac{AB}{2} \]

Вычисляем значение и получаем ответ.