Question

Прямоугольнике ABCD AB равно 4 см BC равно 5 см. П внутренняя точка отрезка bc в четырёхугольник ABCD вписана окружность вычислите расстояние от центра окружности до точки А

Answer 1

Из точки О опустим перпендикуляр на AD, OH=R=1/2BC=2⇒AH=AD-R=5-2=3

ΔAOH прямоугольный ⇒AO=√(AH²+OH²)=√9+4=√13

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно воспользоваться свойствами вписанной окружности в четырехугольник.

Пусть \(O\) - центр вписанной окружности, \(r\) - радиус этой окружности. Также обозначим точки касания окружности с сторонами четырехугольника следующим образом: \(E\) - точка касания с \(AB\), \(F\) - с \(BC\), \(G\) - с \(CD\), \(H\) - с \(DA\).

Известно, что сумма противоположных углов в четырехугольнике, вписанном в окружность, равна \(180^\circ\). Также известно, что касательная к окружности в точке касания является перпендикуляром к радиусу.

Теперь рассмотрим треугольник \(ABE\). Угол \(AEB\) - прямой, так как это касательная к окружности. Также угол \(AEO\) - прямой, так как это радиус окружности.

Итак, у нас есть два прямых угла и один угол в треугольнике \(ABE\). Следовательно, этот треугольник прямоугольный, и мы можем использовать теорему Пифагора:

\[ AE^2 + BE^2 = AB^2 \]

Также, из свойств вписанных углов и касательных мы знаем, что \(AE = AH\) и \(BE = BF\).

Теперь мы можем записать уравнение:

\[ AH^2 + BF^2 = AB^2 \]

Теперь подставим известные значения:

\[ AH^2 + (BC - CH)^2 = AB^2 \]

Также, учитывая, что \(AB = 4\) см и \(BC = 5\) см:

\[ AH^2 + (5 - CH)^2 = 4^2 \]

Теперь рассмотрим треугольник \(CHD\). Аналогично, используя теорему Пифагора:

\[ CD^2 = CH^2 + HD^2 \]

Также, из свойства вписанных углов, \(CD = CG\) и \(HD = HA\). Так что:

\[ CG^2 = CH^2 + HA^2 \]

Теперь мы можем выразить \(CH^2\) из обоих уравнений:

\[ CH^2 = CD^2 - HD^2 \] \[ CH^2 = CG^2 - HA^2 \]

Теперь подставим это обратно в уравнение для \(AH\):

\[ AH^2 + (5 - (CD^2 - HA^2))^2 = 4^2 \]

\[ AH^2 + (5 - CD^2 + HA^2)^2 = 4^2 \]

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной, \(AH\). Решив его, мы найдем значение \(AH\). После этого, расстояние от центра окружности до точки \(A\) будет равно \(r + AH\), где \(r\) - радиус вписанной окружности.