Question

Точки М и N лежат на сторонах AC и BC треугольника АВС соответственно, АС = 16 см, ВС = 12 см, СМ = 12 см, CN = 9см. Докажите, что MN || BC.

Answer 1

Соединим точки M и N прямой. Треугольники CMN и САВ подобны по второму признаку подобия: "Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны".
У нас ВС/NC=12/9 и AC/MC=16/12 (дано), то есть BN/NC=AC/MC=4/3, а угол С, образованный этими сторонами, общий.
Из подобия треугольников имеем:
<CNM=<CBA, а это соответственные углы при прямых MN и АВ и секущей СВ. Следовательно, по признаку параллельности, прямые АВ и MN параллельны, что и требовалось доказать.

Answer 2

Given Information

We are given the following information: - Points M and N lie on the sides AC and BC of triangle ABC, respectively. - AC = 16 cm, BC = 12 cm, CM = 12 cm, and CN = 9 cm.

To Prove

We need to prove that MN || BC.

Proof

To prove that MN || BC, we can use the concept of similar triangles.

Let's consider triangle AMC and triangle BNC. These two triangles share an angle at point C, and we know that CM/CN = AC/BC. Therefore, triangle AMC is similar to triangle BNC by the Angle-Angle (AA) similarity criterion.

Since AMC and BNC are similar triangles, the corresponding sides are proportional. In particular, we have:

AM/BN = AC/BC

Substituting the given values, we have:

AM/BN = 16/12

Simplifying, we get:

AM/BN = 4/3

Now, let's consider triangle AMN and triangle BNM. These two triangles share an angle at point N. Since the corresponding sides of similar triangles are proportional, we have:

AM/BN = AN/NM

Substituting the value of AM/BN from the previous step, we have:

4/3 = AN/NM

Cross-multiplying, we get:

4 * NM = 3 * AN

Since the left side of the equation is a multiple of NM and the right side is a multiple of AN, it implies that NM and AN are in the same ratio. Therefore, MN || BC, as required to be proved.

Hence, we have proved that MN || BC.

Conclusion

We have shown that MN || BC using the concept of similar triangles.