Question

Две стороны треугольника равны 3 и 5. Известно, что окружность, проходящая через середины этих сторон и их общую вершину, касается третьей стороны треугольника. Найдите третью сторону.

Answer 1

Треуг АВС, АВ=3,ВС=5, пусть АМ=МВ=1,5, ВК=КС=2,5, О-точка касания. 
По свойству секущей и касательной 
AO^2=AM*MB=1,5*3=4,5 
AO=1,5*корень из2 
CO^2=CK*KB=2,5*5 
CO=2,5*корень из2 
АС=АО+АС=4*корень из 2

Answer 2

Пусть третья сторона треугольника равна a. Так как окружность проходит через середины сторон и их общую вершину, то она является окружностью вписанной в треугольник.

Так как две стороны треугольника равны 3 и 5, то третья сторона не может быть меньше 2 (так как сумма двух сторон треугольника всегда должна быть больше третьей стороны).

Пусть точка O - центр окружности, а точки M и N - середины сторон треугольника. Тогда треугольник MON является прямоугольным, так как OM и ON являются радиусами окружности, а MN - диаметр окружности.

Так как треугольник прямоугольный, то справедлива теорема Пифагора: (OM)^2 + (ON)^2 = (MN)^2.

По свойству серединного перпендикуляра, OM = ON = a/2, а MN = a.

Таким образом, получаем уравнение: (a/2)^2 + (a/2)^2 = a^2.

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получаем: a^2/4 + a^2/4 = a^2.

Умножаем обе части уравнения на 4: a^2 + a^2 = 4a^2.

Складываем слагаемые: 2a^2 = 4a^2.

Вычитаем 2a^2 из обеих частей уравнения: 0 = 2a^2 - 4a^2.

Упрощаем: -2a^2 = 0.

Делим обе части уравнения на -2: a^2 = 0.

Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому a^2 = 0 является невозможным.

Таким образом, третья сторона треугольника не может быть равна 0.

Следовательно, в данной задаче нет решения.