Question

Докажите что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

Answer 1

Характеристическое свойство биссектрисы угла: точка лежит на биссектрисе тогда и только тогда, когда она равноудалена от сторон угла.

Если AA_1, BB_1 и CC_1 - биссектрисы углов треугольника и I - точка пересечения AA_1 и BB_1, то эта точка равноудалена от AB и AC, так как она лежит на первой биссектрисе, и равноудалена от BA и BC, так как она лежит на второй биссектрисе. Следовательно, она равноудалена от сторон CA и CB и поэтому она лежит на третьей биссектрисе. Доказательство завершено

Answer 2

Докажем, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, используя теорему о биссектрисе. Пусть у нас есть треугольник ABC, и AD, BE, и CF - биссектрисы, идущие из вершин A, B и C соответственно. Нам нужно доказать, что эти биссектрисы пересекаются в одной точке, которую мы обозначим буквой I.

Теорема о биссектрисе гласит, что биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению других двух сторон треугольника. Формально это можно записать следующим образом:

\[\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \quad \text{(1)}\]

\[\frac{CE}{EA} = \frac{BC}{BA} \quad \text{(2)}\]

\[\frac{AF}{FB} = \frac{CA}{CB} \quad \text{(3)}\]

Теперь докажем, что точки D, E и F лежат на одной прямой. Для этого сложим уравнения (1), (2) и (3):

\[\frac{BD}{DC} + \frac{CE}{EA} + \frac{AF}{FB} = \frac{AB}{AC} + \frac{BC}{BA} + \frac{CA}{CB}\]

Общий знаменатель справа равен AC * BA * CB, и мы можем упростить уравнение:

\[BD \cdot BA \cdot CB + CE \cdot AC \cdot CB + AF \cdot AC \cdot BA = AB \cdot AC \cdot BC + BC \cdot BA \cdot CB + CA \cdot AC \cdot BA\]

Вынесем общий множитель ACBA:

\[BD \cdot CB + CE \cdot AC + AF \cdot BA = AB \cdot BC + BC \cdot CB + CA \cdot BA\]

Теперь вспомним, что BD/CB = AB/AC, CE/AC = BC/BA и AF/BA = CA/CB:

\[AB + BC + CA = AB + BC + CA\]

Таким образом, мы доказали, что точки D, E и F лежат на одной прямой, и эта прямая называется биссектрисой треугольника. Таким образом, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которую мы обозначили буквой I.