Question

Составить уравнения биссектрис углов, образованных двумя данными прямыми: 11x-2y+5=0 и 4x+8y-7=0

Answer 1

Даны прямые: 11x-2y+5=0 и 4x+8y-7=0

Уравнения биссектрис углов между прямыми Ax + By + C = 0 и A₁x + B₁y + C₁ = 0:

$\frac{Ax+By+C}{ \sqrt{A^2+B^2} } =+- \frac{A_1x+ B_1y+C_1}{ \sqrt{A_1^2+B_1^2} } .$

Знак + или - выбирается в зависимости от того, нужно уравнение биссектрисы острого или тупого углов.

Подставив коэффициенты заданных прямых в приведенную формулу, получим уравнения биссектрис:

1) $y= \frac{ \sqrt{5}-11 }{2(1+ \sqrt{5})} *x+ \frac{20+7 \sqrt{5} }{8(1+ \sqrt{5}) } .$

В приближённом варианте у ≈ 1,3541х + 1,3772.

2) $y= \frac{11+ \sqrt{5} }{2( \sqrt{5}-1) } *x- \frac{20-7 \sqrt{5} }{8( \sqrt{5}-1) } .$

Или у ≈ -5,3541х - 0,43965.

Answer 2

Для составления уравнений биссектрис углов, образованных двумя данными прямыми, нам понадобится использовать некоторые свойства и формулы, связанные с углами и биссектрисами.

Основные сведения о биссектрисах углов

Биссектриса угла делит его на два равных угла. Если угол θ делится биссектрисой на два равных угла, то каждый из этих углов равен половине угла θ.

Составление уравнений биссектрис углов

Пусть у нас есть две прямые с уравнениями:

1) 11x - 2y + 5 = 0 2) 4x + 8y - 7 = 0

Чтобы составить уравнения биссектрис углов, сформулируем следующие шаги:

Шаг 1: Найдем направляющие угловых коэффициенты прямых. Для этого приведем уравнения прямых к виду y = mx + c, где m - угловой коэффициент, а c - свободный член.

Уравнение 1) 11x - 2y + 5 = 0: -2y = -11x - 5 y = (11/2)x + (5/2)

Уравнение 2) 4x + 8y - 7 = 0: 8y = -4x + 7 y = (-1/2)x + (7/8)

Шаг 2: Найдем угловые коэффициенты биссектрис углов. Для этого воспользуемся формулой:

m_bisector = -1 / (m1 + m2)

где m1 и m2 - угловые коэффициенты прямых.

Для наших прямых, пусть m1 будет угловым коэффициентом уравнения 1), а m2 - угловым коэффициентом уравнения 2).

m1 = 11/2 m2 = -1/2

m_bisector = -1 / ((11/2) + (-1/2)) m_bisector = -1 / (10/2) m_bisector = -1 / 5 m_bisector = -1/5

Шаг 3: Найдем точку пересечения прямых. Для этого решим систему уравнений:

11x - 2y + 5 = 0 4x + 8y - 7 = 0

Можем воспользоваться методом подстановки или методом исключения для решения системы уравнений. Решим ее методом подстановки:

11x - 2y + 5 = 0 y = (11/2)x + (5/2)

Подставим y во второе уравнение:

4x + 8((11/2)x + (5/2)) - 7 = 0 4x + 44x + 20 - 7 = 0 48x + 13 = 0 48x = -13 x = -13/48

Подставим найденное значение x в первое уравнение:

11(-13/48) - 2y + 5 = 0 -143/48 - 2y + 5 = 0 -2y = 143/48 - 5 -2y = 143/48 - 240/48 -2y = -97/48 y = (97/48) * (1/2) y = 97/96

Точка пересечения прямых: (-13/48, 97/96)

Шаг 4: Построим уравнения биссектрис углов, используя найденные значения.

Угол между первой прямой и осью x:

tan(θ1) = m1 θ1 = arctan(m1)

Угол между второй прямой и осью x:

tan(θ2) = m2 θ2 = arctan(m2)

Затем, используя формулы для нахождения уравнений биссектрис углов:

Уравнение первой биссектрисы:

y - (97/96) = m_bisector * (x + 13/48)

Уравнение второй биссектрисы:

y - (97/96) = m_bisector * (x - 13/48)

Ответ:

Уравнение первой биссектрисы: y - (97/96) = (-1/5) * (x + 13/48)

Уравнение второй биссектрисы: y - (97/96) = (-1/5) * (x - 13/48)

Это уравнения биссектрис углов, образованных двумя данными прямыми.