Question

В равнобедренный треугольник ABC вписана окружность которая касается основания AC в точке G а боковых сторон - в точках D и F. Найдите периметр треугольника ABC если FB=4 см AG= 2 см

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства вписанных окружностей в равнобедренных треугольниках.

Пусть треугольник ABC - равнобедренный, где AB = BC. Пусть G - точка касания вписанной окружности с основанием AC, а D и F - точки касания с боковыми сторонами AB и BC соответственно.

Так как G - точка касания, отрезки AG, BD и CF - радиусы вписанной окружности. Обозначим их через r.

Также известно, что FB = 4 см и AG = 2 см.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то BD = CF. Обозначим их через x.

Теперь можем записать уравнения:

1. \(AG + GD = AD\) (по теореме о касательных) 2. \(BD + DF = FB\) (по теореме о касательных)

Имеем: 1. \(2 + r = x\) 2. \(x + r = 4\)

Решаем эту систему уравнений. Вычитаем первое уравнение из второго:

\[(x + r) - (2 + r) = 4 - 2\]

\[x - 2 = 2\]

\[x = 4\]

Теперь найдем значение r, подставив x в любое из уравнений. Для простоты, возьмем первое:

\[2 + r = 4\]

\[r = 2\]

Таким образом, радиус вписанной окружности r равен 2 см, а BD (или CF) равен 4 см.

Теперь мы можем найти периметр треугольника ABC:

\[AB + BC + AC = 2 \cdot AB + AC\]

\[2 \cdot 4 + 4 = 12\]

Итак, периметр треугольника ABC равен 12 см.