Question

Докажите, что в равностороннем треугольнике любая биссектриса является медианой и высотой

Answer 1

Не любая
, а биссектриса к основанию ( а не к боковой стороне) совпадает с высотой и медианой.
 Извините, не прочитал, что в равностороннем. Для равнобедренного рассуждение такое:
Это вытекает из того, что биссектриса делит треугольник на два равных ( по первому признаку, т.е. по двум сторонам и углу между ними). В этих треугольниках напротив равных углов -равные стороны: отрезки на которые биссектриса делит основание. Значит она медиана. Два угла с вершиной на середине основания тоже равны. А так как они смежные т их сумма равна 180 градусам, то и они равны 90 градусам. Значит биссектриса совпадает с высотой
В равностороннем - то же рассуждение для любой стороны.
.

Answer 2

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны 60 градусам. Давайте рассмотрим равносторонний треугольник ABC. Посмотрим, почему любая биссектриса в таком треугольнике является медианой и высотой.

1. Биссектриса как медиана: Пусть AD - биссектриса треугольника ABC, где D лежит на стороне BC. Биссектриса делит угол BAC на два равных угла, то есть ∠BAD = ∠CAD. Так как треугольник ABC равносторонний, то угол BAC равен 60 градусам. Следовательно, угол BAD и угол CAD равны 30 градусам каждый.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. В этом треугольнике у нас есть два угла по 30 градусов и один прямой угол (угол ABD), так как AD - биссектриса. Из суммы углов треугольника мы видим, что угол ABD равен 180 - 30 - 30 = 120 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. Так как AD - биссектриса, у нас снова есть два угла по 30 градусов и один прямой угол (угол ACD). Таким образом, угол ACD также равен 120 градусам.

Итак, у нас есть два треугольника, ABD и ACD, в каждом из которых два угла по 30 градусов и один угол по 120 градусов. Это значит, что стороны AB и AC равны, потому что у них противоположные углы равны, а значит, AD - биссектриса, является медианой, и она делит сторону BC пополам.

2. Биссектриса как высота:

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть AD - биссектриса, где D лежит на стороне BC, и E - середина стороны AC. Так как треугольник ABC равносторонний, то сторона AC равна стороне BC.

Теперь рассмотрим треугольник AED. У нас есть две равные стороны (AD и AE), и угол AED равен 30 градусам (половина угла BAC). Следовательно, треугольник AED равнобедренный. Из свойств равнобедренного треугольника следует, что высота, проведенная к основанию, также является медианой.

Таким образом, биссектриса AD, проведенная в треугольнике ABC, является и медианой, и высотой.