Question

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно L и образует с плоскостью основания угол альфа.Найдите объём пирамиды.

Answer 1

так...Объем пирамиды = V = S осн * H  / 3 ...1) найдем H: так как sina = противолежащий катет / на гипотенузу...находим H = sina*L..далее 2) площадь основания: для этого нам для начало надо найти R описанной окружности основания..т.е 2h/3..R= cosa*L=2h/3 = h = (3 cos a * L)/2..теперь по теореме пифагора найдем a т.е сторону треугольника..a(квадрат) - а(квадрат)/4 = h(квадрат)..отсюда...a = (3 cos a *L) / корень из 3...подставляем под формулу для вычисления площади треугольника = a ((квадрат) корень из 3 )/4 ..получаем S = 3 cos(квадрат) A * L(квадрат) * корень из 3  / и все деленное  4..теперь все подставляем в формулу V для объема..отсюда...

V = 3 * Cos(квадрат) А * sin A * L (куб)* корень из 3  и все деленное на 4

Answer 2

Давайте обозначим через \(h\) высоту треугольной пирамиды, \(L\) — длину бокового ребра, и \(A\) — площадь основания. Мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения высоты пирамиды и, следовательно, её объема.

В треугольной пирамиде, боковая грань, высота и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. Угол между боковой гранью и плоскостью основания обозначим как \(\alpha\). Тогда:

\[\tan(\alpha) = \frac{h}{\frac{L}{2}}\]

Отсюда можно выразить высоту \(h\):

\[h = \frac{L}{2} \tan(\alpha)\]

Объем пирамиды можно найти, используя формулу:

\[V = \frac{1}{3} A h\]

где \(A\) — площадь основания.

Площадь основания треугольной пирамиды можно найти, используя формулу для площади треугольника:

\[A = \frac{1}{2} b \cdot h_b\]

где \(b\) — длина основания треугольника, а \(h_b\) — высота, проведенная к основанию.

Таким образом, мы можем записать формулу для объема пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b \cdot \frac{L}{2} \tan(\alpha)\]

Следует отметить, что формула может быть упрощена в зависимости от конкретной конфигурации треугольной пирамиды.