Question

Квадрат со стороной 3см вращается вокруг своей диагонали. Найдите обьем тела вращения.

Answer 1

Диагональ квадрата = 3 в квадрате = 3 в квадрате всё это под корнем = 3 корня из 2.
при вращении квадрата получаются 2 конуса 
Радиус = высоте = 3/2 корня из 2
объём их равен 2(1/3 ПИ Радиус(в квадрате) Высота) = 9 корней из 2 умножено на ПИ.

Answer 2

Ответ: Объем тела вращения, полученного из квадрата со стороной 3 см, равен 18π см³.

Решение: Для нахождения объема тела вращения, нужно использовать формулу $$V = \pi \int_a^b f(x)^2 dx$$, где $f(x)$ - функция, задающая границу фигуры, а $[a, b]$ - отрезок, на котором она определена.

В данном случае, квадрат со стороной 3 см имеет координаты вершин (0, 0), (0, 3), (3, 3) и (3, 0). Диагональ квадрата проходит через точки (0, 0) и (3, 3), и ее уравнение имеет вид $y = x$. При вращении квадрата вокруг диагонали, получается тело, состоящее из двух конусов, основаниями которых являются половины квадрата.

Для нахождения объема одного конуса, нужно взять функцию $f(x) = 3 - x$, которая задает границу верхней половины квадрата, и проинтегрировать ее на отрезке $[0, 3]$. Получим:

$$V_1 = \pi \int_0^3 (3 - x)^2 dx = \pi \left[ 9x - 3x^2 + \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = \pi \left( 27 - 27 + 9 - 0 + 0 + 0 \right) = 9\pi$$

Для нахождения объема другого конуса, нужно взять функцию $f(x) = x$, которая задает границу нижней половины квадрата, и проинтегрировать ее на отрезке $[0, 3]$. Получим:

$$V_2 = \pi \int_0^3 x^2 dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = \pi \left( 9 - 0 \right) = 9\pi$$

Тогда объем всего тела вращения равен сумме объемов двух конусов:

$$V = V_1 + V_2 = 9\pi + 9\pi = 18\pi$$

Ответ можно округлить до нужной точности, если необходимо. Например, если округлить до двух знаков после запятой, то получим:

$$V \approx 56.55 \text{ см}^3$$

Надеюсь, это поможет вам решить задачу.