Question

Окружность радиусов 11 и 21 с центрами О1 и О2 соответственно касаются внутренним образом в точке К, МО1 и NO2 - параллельные радиусы этих окружностей, причём угол МО1О2=120 градусам. Найдите MN/

Answer 1

вложение................................................

Answer 2

Давайте рассмотрим данную ситуацию подробно.

Обозначим центры окружностей как \(O_1\) и \(O_2\), а радиусы как \(r_1 = 11\) и \(r_2 = 21\). Точка касания окружностей обозначена как \(K\).

Также введем точки \(M\) и \(N\), которые лежат на радиусах \(MO_1\) и \(NO_2\) соответственно. Условие задачи гласит, что \(MO_1\) и \(NO_2\) параллельны, и угол \(\angle MO_1O_2 = 120^\circ\).

Требуется найти отношение длины отрезка \(MN\) к радиусу меньшей окружности \(r_1\).

1. Рассмотрим треугольник \(O_1KO_2\). Этот треугольник равнобедренный, так как \(O_1K\) и \(O_2K\) являются радиусами окружностей и, следовательно, равными между собой. Угол \(\angle MO_1O_2 = 120^\circ\).

2. Так как треугольник равнобедренный, то углы \(\angle O_1KO_2\) и \(\angle O_2KO_1\) равны между собой и равны \((180^\circ - \angle MO_1O_2)/2 = 30^\circ\).

3. Теперь рассмотрим треугольник \(O_1KM\). В этом треугольнике у нас есть известный угол \(\angle O_1KO_2 = 30^\circ\) и сторона \(O_1K = r_1\). Мы хотим найти сторону \(KM\).

4. Используем тригонометрию. Разделим треугольник \(O_1KM\) на два прямоугольных треугольника: \(O_1KO_2\) и \(O_1MO_2\). В треугольнике \(O_1KO_2\) у нас есть угол \(30^\circ\) и гипотенуза \(O_1K = r_1\). Таким образом, сторона \(O_1M\) равна \(r_1 \cdot \tan(30^\circ)\).

5. Теперь мы знаем сторону \(O_1M\), и мы хотим найти отрезок \(MN\). Отрезок \(MN\) - это высота треугольника \(O_1KM\), опущенная из вершины \(M\) на гипотенузу \(O_1K\).

6. Используем формулу для высоты прямоугольного треугольника: \(h = c \cdot \sin(\alpha)\), где \(c\) - гипотенуза, \(\alpha\) - угол между гипотенузой и высотой.

7. В нашем случае, \(c = r_1\), \(\alpha = 30^\circ\), следовательно, \(MN = r_1 \cdot \sin(30^\circ)\).

8. Теперь мы можем выразить отношение \(MN\) к радиусу меньшей окружности \(r_1\): \(\frac{MN}{r_1} = \frac{\sin(30^\circ)}{\tan(30^\circ)}\).

Рассчитаем это значение:

\[\frac{\sin(30^\circ)}{\tan(30^\circ)} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.\]

Таким образом, \(\frac{MN}{r_1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).