Question

Даны точки A(0;1), B(2;5), C(4;1) и D(2;-3). Докажите,что a)АВСD-параллелограмм; б)ABCD-ромб. Решите пожааалуйстааа)) Заранее спасибо!!

Answer 1

а) 

1) АВ (2-0; 5-1) ⇒ АВ (2;4)

    CD (2-4; -3-1) ⇒ CD ( -2; -4) ⇒ вектора коллинеарны ⇒ АВ || CD

 

 2) BC (4-2;1-5) ⇒ BC (2;-4)

      AD (2-0; -3-1) ⇒ AD (2;-4) ⇒  вектора коллинеарны ⇒ BC || AD ⇒ ABCD - параллелограмм

б)

AB = √(2² + 4²) = √20

CD = √((-2)² + (-4)²) = √20

BC = √(2² + (-4)²) = √20

AD =  √(2² + (-4)²) = √20 ⇒ ABCD - ромб

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Решение:

Для доказательства, что фигура ABCD является параллелограммом, мы должны показать, что противоположные стороны параллельны и равны. Для доказательства того, что ABCD является ромбом, мы должны показать, что все стороны равны.

# a) ABCD - параллелограмм:

Чтобы показать, что фигура ABCD является параллелограммом, мы должны показать, что стороны AB и CD параллельны и равны, а также стороны BC и AD параллельны и равны.

1. Проверим, что стороны AB и CD параллельны. Для этого рассчитаем и сравним угловые коэффициенты этих сторон.

Угловой коэффициент стороны AB: m_AB = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (5 - 1) / (2 - 0) = 4 / 2 = 2

Угловой коэффициент стороны CD: m_CD = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (-3 - 1) / (2 - 4) = -4 / -2 = 2

Так как угловые коэффициенты сторон AB и CD равны, стороны AB и CD параллельны.

2. Проверим, что стороны BC и AD параллельны. Для этого рассчитаем и сравним угловые коэффициенты этих сторон.

Угловой коэффициент стороны BC: m_BC = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (1 - 5) / (4 - 2) = -4 / 2 = -2

Угловой коэффициент стороны AD: m_AD = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = (1 - 1) / (4 - 0) = 0 / 4 = 0

Так как угловые коэффициенты сторон BC и AD равны, стороны BC и AD параллельны.

3. Для проверки равенства сторон AB и CD, а также BC и AD, рассчитаем расстояния между соответствующими точками.

Расстояние между точками A(0, 1) и B(2, 5): d_AB = sqrt((x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2) = sqrt((2 - 0)^2 + (5 - 1)^2) = sqrt(4 + 16) = sqrt(20) = 2sqrt(5)

Расстояние между точками C(4, 1) и D(2, -3): d_CD = sqrt((x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2) = sqrt((2 - 4)^2 + (-3 - 1)^2) = sqrt(4 + 16) = sqrt(20) = 2sqrt(5)

Расстояние между точками B(2, 5) и C(4, 1): d_BC = sqrt((x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2) = sqrt((4 - 2)^2 + (1 - 5)^2) = sqrt(4 + 16) = sqrt(20) = 2sqrt(5)

Расстояние между точками A(0, 1) и D(2, -3): d_AD = sqrt((x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2) = sqrt((2 - 0)^2 + (-3 - 1)^2) = sqrt(4 + 16) = sqrt(20) = 2sqrt(5)

Так как расстояния между соответствующими точками равны, стороны AB и CD, а также BC и AD равны.

Итак, мы показали, что стороны AB и CD параллельны и равны, а также стороны BC и AD параллельны и равны. Следовательно, фигура ABCD является параллелограммом.

# б) ABCD - ромб:

Чтобы показать, что фигура ABCD является ромбом, мы должны показать, что все стороны равны.

Мы уже показали, что стороны AB и CD, а также BC и AD равны. Остается проверить, что стороны AB и BC, а также CD и AD равны.

Расстояние между точками A(0, 1) и B(2, 5): d_AB = 2sqrt(5)

Расстояние между точками B(2, 5) и C(4, 1): d_BC = 2sqrt(5)

Расстояние между точками C(4, 1) и D(2, -3): d_CD = 2sqrt(5)

Расстояние между точками A(0, 1) и D(2, -3): d_AD = 2sqrt(5)

Таким образом, все стороны AB, BC, CD и AD равны 2sqrt(5).

Итак, мы показали, что все стороны фигуры ABCD равны. Следовательно, фигура ABCD является ромбом.

Ответ:

a) Фигура ABCD является параллелограммом. б) Фигура ABCD является ромбом.