Question

В трапеции АВСД основание AD и ВС соответственно равны 15 и 5, угол СДА = 60. Через вершину В и середину СД-точку О проведена прямая до пересечения. с продолжением АД в точке Е. угол АВЕ=90, угол СВЕ=30. найдите периметр трапеции

Answer 1

Периметр = 40 см
Малая основа 5 см 
бока по 10 см
большая 15 см
Трапеция равносторонная!

Answer 2

Для решения этой задачи используем свойства треугольников и трапеции.

Обозначим длины сторон трапеции:

AB = x (основание трапеции) CD = y (основание трапеции) BC = CE = DE = a (боковые стороны трапеции)

Из условия задачи у нас есть:

AD = 15 BC = CE = DE = a = 5 ∠CDA = 60 градусов

Также у нас есть проведенная прямая BO через вершину B и середину CD в точке O, где ∠ABE = 90 градусов, а ∠CBE = 30 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник BCD. В этом треугольнике:

1. Заметим, что треугольник BCD равнобедренный, так как BC = CD = a. Тогда ∠CBD = ∠CDB = (180 - ∠CDA) / 2 = (180 - 60) / 2 = 60 градусов.

2. Теперь мы знаем, что ∠CBE = 30 градусов. Тогда ∠CBD = ∠CBE + ∠EBD = 30 + 90 = 120 градусов.

3. Также, ∠CBD = ∠CDB = 60 градусов (из равнобедренности треугольника BCD).

Теперь рассмотрим треугольник BDE:

1. ∠BED = 180 - ∠CBE = 180 - 30 = 150 градусов.

2. Теперь мы можем найти ∠BED - ∠BDE = 150 - 90 = 60 градусов.

Теперь у нас есть:

- ∠CDB = ∠CBD = 60 градусов - ∠BED - ∠BDE = 60 градусов

Это означает, что треугольник BCD подобен треугольнику BDE.

Таким образом, мы можем записать отношение подобия:

\[ \frac{BC}{BD} = \frac{CD}{DE} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{5}{x} = \frac{5}{a} \]

Отсюда получаем, что x = a.

Теперь мы можем выразить AD через x (основание трапеции):

\[ AD = x + a + a = x + 2a \]

Мы знаем, что AD = 15 и a = 5, поэтому:

\[ x + 2a = 15 \]

\[ x + 2 \cdot 5 = 15 \]

\[ x + 10 = 15 \]

\[ x = 5 \]

Теперь у нас есть длины всех сторон трапеции:

AB = x = 5 CD = y = 15 BC = CE = DE = a = 5

Теперь можем найти периметр трапеции:

\[ P = AB + BC + CD + DE \]

\[ P = 5 + 5 + 15 + 5 \]

\[ P = 30 \]

Таким образом, периметр трапеции равен 30.