Question

Найдите объем правильной треугольной пирамиды сторона основания равна "а",а боковая грань образует с плоскостью основания угол "d"(альфа).

Answer 1

V=(S(осн)*h)/3
S(осн)=(a^2(√3))/4
Вершина пирамиды проецируется в центр треугольника, который лежит на пересечении медиан. Медианы в свою очередь делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины. AH-медиана, высота, опущенная на BC. Образуется прямоугольный треугольник с катетом 0,5*a и гипотенузой a
AH=√((a^2-(0,5a)^2)=(a√3)/2
Поделим результат на 3, чтобы получить катет прямоугольного треугольника SOH, где S - вершина пирамиды, а O - центр треугольника
OH=(a√3)/6
В этом треугольнике мы знаем катет, угол альфа, прямой угол. Пусть альфа=α По теореме синусов
h/sin(α)=OH/(sin(90)-α);
h=OH*tg(α)
V=S(осн)*h=((a^2√3)/4)*((a√3)/(6)*tg(α)/3 = (a^3*tg(α))/24

Answer 2

Объем правильной треугольной пирамиды можно вычислить по следующей формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h, \]

где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания, а \(h\) - высота пирамиды. Посмотрим на структуру треугольной пирамиды.

Треугольная пирамида имеет треугольное основание и выходит из него вверх с вершиной, которая находится прямо над центром основания. Поскольку у нас есть треугольное основание, мы можем разделить его на два прямоугольных треугольника. Посмотрим на один из них.

Пусть \(a\) - сторона основания, \(h\) - высота пирамиды (расстояние от вершины до центра основания), а \(d\) - угол между боковой гранью пирамиды и плоскостью основания (альфа).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной основания \(a/2\), половиной высоты пирамиды \(h/2\) и гипотенузой \(a\) (стороной основания). Мы можем использовать тригонометрические функции для определения длин сторон этого треугольника.

Используем тангенс угла \(d\):

\[ \tan(d) = \frac{\frac{h}{2}}{\frac{a}{2}}. \]

Отсюда можно выразить высоту \(h\):

\[ h = \frac{a}{2} \cdot \tan(d). \]

Теперь мы можем подставить это значение высоты в формулу для объема:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h. \]

Площадь основания \(S_{\text{осн}}\) для треугольной пирамиды с стороной основания \(a\) можно вычислить с использованием формулы для площади равностороннего треугольника:

\[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2. \]

Теперь мы можем подставить это значение в формулу для объема:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \tan(d). \]

Упростим это выражение:

\[ V = \frac{\sqrt{3}}{24} \cdot a^3 \cdot \tan(d). \]

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды с основанием \(a\) и углом \(d\) равен \(\frac{\sqrt{3}}{24} \cdot a^3 \cdot \tan(d)\).