Question

Найдите координаты вектора a4=1\2a1+5a2-3\4a3 если известны координаты векторов a1{8;6},а2{1;1\5},а3{8\3;0}

Answer 1

1/2а1 {4;3}
5a2 {5;1}
3/4a3 {2;0}
a4 {7;4}

Answer 2

Для нахождения координат вектора \( \mathbf{a}_4 \) в базисе, заданном векторами \( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \), можно воспользоваться следующей формулой:

\[ \mathbf{a}_4 = x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2 + x_3 \mathbf{a}_3 \]

где \( x_1, x_2, x_3 \) - искомые координаты вектора \( \mathbf{a}_4 \) в базисе.

Используем данные координаты векторов:

\[ \mathbf{a}_1 = \begin{bmatrix} 8 \\ 6 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{a}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{1}{5} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{a}_3 = \begin{bmatrix} \frac{8}{3} \\ 0 \end{bmatrix} \]

Подставим эти значения в формулу:

\[ \mathbf{a}_4 = x_1 \begin{bmatrix} 8 \\ 6 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{1}{5} \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} \frac{8}{3} \\ 0 \end{bmatrix} \]

Теперь умножим координаты каждого вектора на соответствующие координаты \( x_1, x_2, x_3 \) и сложим результаты:

\[ \begin{bmatrix} a_{4_1} \\ a_{4_2} \end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix} 8 \\ 6 \end{bmatrix} + x_2 \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{1}{5} \end{bmatrix} + x_3 \begin{bmatrix} \frac{8}{3} \\ 0 \end{bmatrix} \]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} 8x_1 + x_2 + \frac{8}{3}x_3 = a_{4_1} \\ 6x_1 + \frac{1}{5}x_2 = a_{4_2} \end{cases} \]

Решив эту систему уравнений, вы найдете значения \( x_1, x_2, x_3 \), которые будут координатами вектора \( \mathbf{a}_4 \) в базисе \( \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3 \).