Question

Дан треугольник DEK, у которого D(-4;-5), E(3;2), K(8;3) 1. EC - биссектриса; найти координаты точки C 2. определите вид треугольника срочно плиз, даю много баллов

Answer 1

Так как EC - биссектриса, то:
$\frac{DC}{ED} = \frac{CK}{EK} \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \frac{CK}{DC}= \frac{EK}{ED}$
при делении точкой отрезка на 2 части, относящиеся как m к n, есть формула для вычисления координат этой точки:
$x= \frac{x_1+\lambda *x_2}{1+\lambda} \\y= \frac{y_1+\lambda *y_2}{1+\lambda} \\\lambda= \frac{m}{n}$
ищем длины сторон:
для этого используем формулу $|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
$|ED|=\sqrt{(3+4)^2+7^2}=\sqrt{98} \\|EK|=\sqrt{(3-8)^2+(2-3)^2}=\sqrt{26} \\|DK|=\sqrt{144+64}=\sqrt{208}$
находим координаты точки C:
$x_1=8;\ x_2=-4;\ y_1=3;\ y_2=-5 \\\lambda= \frac{CK}{DC} = \frac{EK}{ED} = \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{98}}=\sqrt{ \frac{26}{98} }=\sqrt{ \frac{13}{49} } = \frac{\sqrt{13}}{7} \\C( \frac{8+ \frac{\sqrt{13}}{7} *(-4)}{1+ \frac{\sqrt{13}}{7}} ; \frac{3+ \frac{\sqrt{13}}{7}*(-5)}{1+ \frac{\sqrt{13}}{7}} )=C( \frac{8- \frac{4\sqrt{13}}{7} }{ \frac{7+\sqrt{13}}{7} } ; \frac{3- \frac{5\sqrt{13}}{7} }{\frac{7+\sqrt{13}}{7}} )=$
$=C( \frac{ \frac{56-4\sqrt{13}}{7} }{\frac{7+\sqrt{13}}{7}}; \frac{ \frac{21-5\sqrt{13}}{7} }{\frac{7+\sqrt{13}}{7}})=C( \frac{56-4\sqrt{13}}{7+\sqrt{13}} ; \frac{21-5\sqrt{13}}{7+\sqrt{13}} )$
теперь определим вид треугольника для этого используем теорему косинусов:
вид треугольника будем определять по косинусу самого большого угла; если cos<0, то угол тупой; если cos=0, то угол прямой; если cos>0, то угол острый.
Против большей стороны лежит больший угол, поэтому запишем теорему косинусов для DK и косинуса угла E:
$DK^2=ED^2+EK^2-2ED*EK*cosE \\cosE= \frac{ED^2+EK^2-DK^2}{2ED*EK} = \frac{98+26-208}{2\sqrt{98*26}}\ \textless \ 0$
cosE<0 поэтому угол тупой и треугольник тупоугольный
Ответ:
1) $C( \frac{56-4\sqrt{13}}{7+\sqrt{13}} ; \frac{21-5\sqrt{13}}{7+\sqrt{13}} )$
2) треугольник тупоугольный

Answer 2

Triangle DEK and Point C

To find the coordinates of point C, we need to determine the intersection of the bisector of angle DEK and the line segment EK.

The midpoint of the line segment EK can be found by averaging the x-coordinates and y-coordinates of points E and K:

Midpoint of EK = ((3 + 8) / 2, (2 + 3) / 2) = (11/2, 5/2) = (5.5, 2.5)

The slope of the line segment EK can be found using the formula:

Slope of EK = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Slope of EK = (3 - 2) / (8 - 3) = 1/5

The slope of the bisector of angle DEK is the negative reciprocal of the slope of EK. Therefore, the slope of the bisector is -5.

Using the point-slope form of a line, we can find the equation of the bisector passing through the midpoint of EK:

y - y1 = m(x - x1)

y - 2.5 = -5(x - 5.5)

Simplifying the equation:

y - 2.5 = -5x + 27.5

y = -5x + 30

To find the coordinates of point C, we need to find the intersection of the bisector and the line segment EK. We can substitute the equation of the bisector into the equation of the line segment EK:

-5x + 30 = 1/5x + b

Simplifying the equation:

-25x + 150 = x + 5b

-26x = 5b - 150

x = (5b - 150) / -26

Substituting the value of x back into the equation of the bisector:

y = -5((5b - 150) / -26) + 30

Simplifying the equation:

y = (25b - 750) / 26 + 30

To find the coordinates of point C, we need to solve the system of equations formed by the equation of the bisector and the equation of the line segment EK.