Question

Помогите пожалуйста очень нужноВ прямоугольном треугольнике один из острых углов равен альфа. Найти площадь треугольника, если перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла равен h.

Answer 1

 Рассмотрим треугольники образованными этим перпендикуляром, получим два прямоугольных треугольников, по условию пусть один угол острый равен $\alpha$ тогда другой угол равен $90- \alpha$ , тогда первый катет равен
$\frac{h}{sin \alpha }$  , то второй катет равен  $\frac{h}{sin(90- \alpha )}$
а площадь равны полу произведений этих катетов 
$S=\frac{\frac{h}{sin \alpha }*\frac{h}{sin(90- \alpha )}}{2}= \frac{h^2}{sin2 \alpha }$ 

Answer 2

Давайте обозначим стороны прямоугольного треугольника. Пусть катеты треугольника равны \(a\) и \(b\), а гипотенуза равна \(c\). По определению тангенса угла, мы имеем:

\[ \tan(\alpha) = \frac{a}{b} \]

Отсюда можно выразить один из катетов через другой:

\[ a = b \cdot \tan(\alpha) \]

Теперь, рассмотрим перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу. Этот перпендикуляр является высотой треугольника и равен \(h\).

По теореме Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Подставим выражение для \(a\):

\[ c^2 = (b \cdot \tan(\alpha))^2 + b^2 \]

Теперь решим это уравнение относительно \(b\):

\[ c^2 = b^2 \cdot (\tan(\alpha))^2 + b^2 \]

\[ c^2 = b^2 \cdot (1 + (\tan(\alpha))^2) \]

\[ b^2 = \frac{c^2}{1 + (\tan(\alpha))^2} \]

\[ b = c \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + (\tan(\alpha))^2}} \]

Теперь у нас есть выражение для одного из катетов через гипотенузу и угол \(\alpha\).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]

Подставим выражение для \(a\):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot (b \cdot \tan(\alpha)) \cdot b \]

\[ S = \frac{1}{2} \cdot b^2 \cdot \tan(\alpha) \]

Теперь подставим выражение для \(b\):

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \frac{c^2}{1 + (\tan(\alpha))^2} \cdot \tan(\alpha) \]

\[ S = \frac{c^2 \cdot \tan(\alpha)}{2 \cdot (1 + (\tan(\alpha))^2)} \]

Таким образом, получаем формулу для площади прямоугольного треугольника в зависимости от гипотенузы \(c\) и угла \(\alpha\):

\[ S = \frac{c^2 \cdot \tan(\alpha)}{2 \cdot (1 + (\tan(\alpha))^2)} \]