Question

Около окружности описан правильный треугольник и в нее вписан квадрат 4стр найти стр треугольника

Answer 1

Диагональ квадрата находим по теореме Пифагора
d²=4²+4²=16+16=32
d=4√2 
Она является радиусом окружности описанной около правильного треугольника со стороной а
R=2√2
Радиус описанной около правильного треугольника окружности выражаем через сторону правильного треугольника а
Высота треугольника является одновременно и медианой
h=a·sin 60°=a√3/2
Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1,  считая от вершины
Точка пересечения медиан правильного треугольника является одновременно и радиусом описанной и радиусом вписанной окружности
R=(2/3)·H=(2/3)·a·(√3/2)=a√3/3
ПОЛЕЗНО ЗАПОМНИТЬ
R=a√3/3

Заменяем R на найденное значение 2√2, решаем уравнение
a√3/3=2√2     ⇒   a=2√6
Ответ. сторона правильного треугольника равна 2√6

Answer 2

Чтобы найти сторону треугольника, описанного около окружности, в которую вписан квадрат, нам понадобится использовать геометрические свойства этих фигур.

Пусть сторона квадрата равна "а". Так как квадрат вписан в окружность, то его диагональ будет равна диаметру окружности. Диагональ квадрата равна "а√2".

Также известно, что окружность описана вокруг правильного треугольника. В правильном треугольнике все стороны равны между собой. Пусть сторона треугольника равна "b".

Теперь мы можем использовать свойство, что в правильном треугольнике высота, проведенная из вершины к основанию, является биссектрисой и медианой одновременно.

Таким образом, высота треугольника будет проходить через центр квадрата и перпендикулярна его стороне. Длина высоты будет равна половине диагонали квадрата, то есть "a√2/2".

Теперь мы можем применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному половиной высоты треугольника, стороной треугольника и радиусом окружности (половиной диагонали квадрата). Получится следующее уравнение:

(b/2)^2 + (a√2/2)^2 = (a√2)^2/4

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

b^2/4 + a^2/4 = 2a^2/4

b^2 + a^2 = 2a^2

Перенесем все слагаемые влево и приведем подобные:

a^2 - b^2 = 0

(a + b)(a - b) = 0

Так как стороны не могут быть отрицательными, то a + b = 0.

Таким образом, сторона треугольника равна стороне квадрата, то есть "a".