Question

Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов, радиус основания равен 6 дм. Найдите объем конуса и площадь его боковой поверхности.

Answer 1

Решение в приложенном файле

Answer 2

Для нахождения объема конуса и площади его боковой поверхности, нам понадобятся следующие формулы:

1. Объем конуса: V = (1/3) * π * r^2 * h,

где V - объем конуса, π (пи) - математическая константа, примерно равная 3.14159, r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

2. Площадь боковой поверхности конуса: S = π * r * l,

где S - площадь боковой поверхности конуса, r - радиус основания конуса, l - длина образующей конуса.

Нам уже дано значение радиуса основания конуса, равное 6 дм. Чтобы найти высоту и длину образующей, нам потребуется использовать геометрические свойства конуса.

Для начала найдем высоту конуса. Так как образующая наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов, мы можем использовать тригонометрию. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом основания, образующей и высотой конуса, угол между радиусом основания и высотой равен 30 градусов.

Вычисление высоты конуса:

Для решения этой задачи мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса. Синус угла можно вычислить, разделив противоположную сторону на гипотенузу.

В данном случае, противоположная сторона - это высота конуса, а гипотенуза - это образующая. Подставим известные значения и решим уравнение:

sin(30 градусов) = h / l,

где h - высота конуса, l - длина образующей.

sin(30 градусов) = h / l, 1/2 = h / l.

Так как l - образующая равна 2 радиусам основания, то l = 2 * r = 2 * 6 дм = 12 дм.

Подставим значение l в уравнение:

1/2 = h / 12 дм.

Решим уравнение относительно h:

h = (1/2) * 12 дм = 6 дм.

Таким образом, высота конуса равна 6 дм.

Вычисление объема конуса:

Теперь, когда у нас есть значение радиуса основания (r = 6 дм) и высоты (h = 6 дм), мы можем использовать формулу для нахождения объема конуса:

V = (1/3) * π * r^2 * h.

Подставим известные значения:

V = (1/3) * 3.14159 * 6^2 * 6 дм^3, V = (1/3) * 3.14159 * 36 * 6 дм^3, V = 113.097 дм^3.

Таким образом, объем конуса равен 113.097 дм^3.

Вычисление площади боковой поверхности конуса:

Теперь найдем площадь боковой поверхности конуса, используя формулу:

S = π * r * l,

где r - радиус основания конуса, l - длина образующей.

Подставим известные значения:

S = 3.14159 * 6 дм * 12 дм, S = 226.195 дм^2.

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна 226.195 дм^2.

Итак, объем конуса составляет 113.097 дм^3, а площадь его боковой поверхности равна 226.195 дм^2.