Question

Внутри параллелограмма расположены две одинаковые окружности радиусом 2, каждая из которых касается боковой стороны параллелограмма, обоих оснований и второй окружности. Боковая сторона делится точкой касания в отношении 1:4. Найдите площадь параллоелограмма

Answer 1

Обозначим параллелограмм АВСД, ВС-верхнее основание, АД-нижнее. Угол А острый. Центры вписанных в него окружностей О1 и О2.  Очевидно, что высота параллелограмма Н=2R=4.  Из центра первой окружности О1 проведём радиусы в точки касания О1К к ВС и О1М к АВ. Радиусы перпендикулярны касательным, прямоугольные треугольники ВКО1 и МВО1 равны по катету(R) и гипотеузе(ВО1).  Тогда ВК=ВМ=Х. Из точки О1 проведё радиус О1Р к АД. Аналогично, из равенства треугольников АМО1 и АРО1 получим АМ=АР, по условию ВМ/АМ=1/4. Тогда АМ=АР=4Х. Из вершины В опустим перпендикуляр ВN к АД, отрезки ВК и NР заключены между перпендикулярами КР и ВN к параллельным прямым ВС и АД значит NР=ВК=Х. Тогда АN=АР-NР=4Х-Х=3Х. ВN=2R.  По теореме Пифагора ВN=корень из(АВквадрат-АNквадрат)=корень из(25Хквадрат-9Хквадрат)=4Х. Но ВN=2R=4, то есть 4=4Х. Тогда Х=1. Из точки О2 опустим перпендикуляр О2G на АД, поскольку АВ равна и паралельна ДС, радиусы окружностей равны и точка касания делит равные стороны в той же пропорции, то выполнив предыдущие построения , находим , что GД=Х=1.  Тогда нижнее основание АД=АР+РG+GД=4Х+2R+Х=4*1+2*2+1=9. Отсюда искомая площадь равна Sавсд=АД*Н=9*4=36.

Answer 2

И в чем сложность этих задача. ? Не вижу.
В 1 задаче достаточно воспользоваться теоремой синусов и знаниями )элементарными) тригонометрии, как сразу становится ясно, что учетверенный косинус равен 3.

Answer 3

Для решения этой задачи, нам нужно найти площадь параллелограмма, внутри которого расположены две одинаковые окружности радиусом 2. Каждая из этих окружностей касается боковой стороны параллелограмма, обоих оснований и второй окружности. Боковая сторона делится точкой касания в отношении 1:4.

Решение:

Пусть сторона параллелограмма, на которую касается окружность, равна a. Тогда длина боковой стороны, на которую касается вторая окружность, будет 4a.

Площадь параллелограмма можно найти, используя формулу: площадь = основание * высота. В данном случае, основание параллелограмма равно a, а высота равна радиусу окружности, то есть 2.

Таким образом, площадь параллелограмма равна: площадь = a * 2 = 2a.

Ответ:

Площадь параллелограмма равна 2a.