Question

Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Answer 1

За теормой cos 

   $d1^2=a^2+b^2-2ab*cos\alpha$

   $d2^2=a^2+b^2-2ab(180-cos\alpha)$

 т.к. $180-cos\alpha=-cos\alpha$ то $d2^2=a^2+b^2+2ab*cos\alpha$ 

Прибавляем.

   $d1^2+d2^2=2a^2+2b^2=2(a^2+b^2)$, что и требовалось доказать.

Answer 2

Параллелограмм и его диагонали

Для доказательства, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон, рассмотрим параллелограмм ABCD с диагоналями AC и BD.

Доказательство

1. Рассмотрим стороны параллелограмма ABCD: - Сторона AB: AB - Сторона BC: BC - Сторона CD: CD - Сторона DA: DA

2. Рассмотрим диагонали параллелограмма ABCD: - Диагональ AC: AC - Диагональ BD: BD

3. Запишем сумму квадратов сторон параллелограмма ABCD: - Сумма квадратов сторон AB, BC, CD и DA: AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 [[4]](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BA%D0%BE%D1%81%D0%B8%D0%BD%D1%83%D1%81%D0%BE%D0%B2).

4. Запишем сумму квадратов диагоналей параллелограмма ABCD: - Сумма квадратов диагоналей AC и BD: AC^2 + BD^2.

5. Докажем, что сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон: - Рассмотрим треугольники ABD и BCD, образованные диагоналями AC и BD. - По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике с гипотенузой AC и катетами AB и BC выполняется следующее соотношение: AC^2 = AB^2 + BC^2. - Аналогично, в прямоугольном треугольнике с гипотенузой BD и катетами BC и CD выполняется следующее соотношение: BD^2 = BC^2 + CD^2. - Суммируя эти два соотношения, получаем: AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + BC^2 + CD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2. - Таким образом, сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон параллелограмма ABCD.

Заключение

Таким образом, мы доказали, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Примечание: В данном ответе использованы результаты поиска на You.com, источников и