Question

По разные стороны от прямой PK взяты точки B и D. Докажите что BK параллельна DP если BP=DK и BK=DP.

Answer 1

Если в четырехугольнике стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм, а т.к. это параллелограмм, то у него стороны попарно равны и попарно параллельны, а значит и BK//DP

Answer 2

Задача

Дана прямая PK и точки B и D, расположенные по разные стороны от прямой PK. Необходимо доказать, что отрезок BK параллелен отрезку DP, если BP = DK и BK = DP.

Решение

Для доказательства параллельности отрезков BK и DP, мы можем использовать свойство параллельных прямых, которое гласит: если две прямые пересекаются третьей прямой так, что сумма внутренних углов на одной стороне равна 180 градусам, то эти две прямые параллельны.

Дано: - BP = DK - BK = DP

Мы можем предположить, что отрезки BK и DP пересекаются в точке M. Тогда у нас есть следующие равенства: - BM = BP + PM - DM = DK + KM

Также, поскольку BP = DK, мы можем записать: - BM = DM

Теперь мы можем рассмотреть треугольники BMP и DMP. У них есть следующие равные стороны: - BM = DM (из предыдущего равенства) - BP = DK (дано) - PM = KM (по свойству равных отрезков)

Таким образом, треугольники BMP и DMP являются равнобедренными треугольниками, так как у них две равные стороны и два равных угла. А значит, у них также равны углы при основании.

Теперь рассмотрим углы при основании треугольников BMP и DMP. Пусть угол BKM равен α, а угол DPM равен β. Тогда у нас есть: - Угол BMP = α - Угол DMP = β

Так как углы при основании равны, то α = β.

Теперь рассмотрим треугольники BKP и DMP. У них есть следующие равные стороны: - BK = DP (дано) - BP = DK (дано) - Угол BKP = α (из равенства углов при основании)

Таким образом, треугольники BKP и DMP являются равными треугольниками, так как у них три равные стороны и один равный угол. А значит, у них также равны все углы.

Теперь рассмотрим угол BKP и угол DMP. Пусть угол BKP равен γ, а угол DMP равен δ. Тогда у нас есть: - Угол BKP = γ - Угол DMP = δ

Так как углы равны, то γ = δ.

Теперь мы можем сделать следующий вывод: угол BKM равен углу BKP, а угол DPM равен углу DMP. Так как углы равны, то угол BKM также равен углу BKP, а угол DPM также равен углу DMP.

Таким образом, у нас есть две пары равных углов: BKM = BKP и DPM = DMP. Это означает, что сумма внутренних углов на одной стороне (BKM и DPM) равна 180 градусам.

Следовательно, отрезки BK и DP параллельны, так как они пересекаются третьей прямой PK так, что сумма внутренних углов на одной стороне равна 180 градусам.

Ответ

Таким образом, мы доказали, что отрезок BK параллелен отрезку DP, если BP = DK и BK = DP.