Question

В равнобокой трапеции АВСД меньшее основание ВС=5 см, < АВС=135º высота трапеции равна 3 см. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Основание АD=5+6, так как проведя высоту к наибольшему основанию, мы видим, что треугольник ABF-равнобедренный, следовательно AF=3, а значит, если провести другую высоту получится тоже самое, так как трапеция равнобедренная. значит площадь трапеции равна ((11+5)/2)*3=24

Answer 2

Для нахождения площади трапеции можно воспользоваться следующей формулой:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}, \]

где \( a \) и \( b \) - основания трапеции, \( h \) - высота трапеции.

Из условия задачи у нас есть следующая информация:

1. \( BC = 5 \) см (меньшее основание трапеции), 2. \( \angle BAC = 135^\circ \) (угол при вершине трапеции), 3. \( h = 3 \) см (высота трапеции).

Для нахождения большего основания (\( a \)) трапеции, можем воспользоваться свойствами треугольника. Обозначим точку, в которой высота \( h \) пересекает продолжение боковой стороны \( AD \), как точку \( E \). Тогда треугольник \( ABE \) прямоугольный, и мы можем воспользоваться теоремой косинусов:

\[ BC^2 = BE^2 + CE^2 - 2 \cdot BE \cdot CE \cdot \cos(\angle BAC). \]

Подставим известные значения:

\[ 5^2 = BE^2 + 3^2 - 2 \cdot BE \cdot 3 \cdot \cos(135^\circ). \]

Теперь решим уравнение относительно \( BE \).

\[ 25 = BE^2 + 9 + 6 \cdot BE \cdot \frac{-1}{\sqrt{2}}. \]

Упростим:

\[ BE^2 + 6 \cdot BE \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - 16 = 0. \]

Теперь решим квадратное уравнение относительно \( BE \). Решение уравнения даёт два значения \( BE \): одно положительное и одно отрицательное. Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

Теперь, когда у нас есть значение \( BE \), можем найти \( BD \), большее основание трапеции:

\[ BD = BC - CE = 5 - BE. \]

Теперь у нас есть значения обоих оснований (\( BC \) и \( BD \)), а также высоты (\( h \)), и мы можем подставить их в формулу для площади трапеции:

\[ S = \frac{(BC + BD) \cdot h}{2}. \]

Подставим известные значения и найдём площадь трапеции.