Question

15) Решите биквадратные уравнения: а) 4х4-3х2-1=0; б) х4+8х2-9=0; в) х4+х2-6=0.

Answer 1

Как то так, надеюсь понятно, не аккуратно, но ответы видны

Answer 2

Конечно, давайте решим биквадратные уравнения.

Биквадратное уравнение имеет вид \(ax^4 + bx^2 + c = 0\).

a) \(4x^4 - 3x^2 - 1 = 0\)

Обозначим \(y = x^2\), тогда уравнение примет форму \(4y^2 - 3y - 1 = 0\).

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся квадратным уравнением: \(y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).

В данном случае: - \(a = 4\), - \(b = -3\), - \(c = -1\).

Подставим значения:

\[y = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1)}}{2 \cdot 4}\]

\[y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{8}\]

\[y = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{8}\]

Таким образом, получаем два значения \(y\):

1. \(y_1 = \frac{3 + 5}{8} = \frac{8}{8} = 1\) 2. \(y_2 = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}\)

Теперь заменяем \(y\) обратно на \(x^2\):

1. Для \(y_1 = 1\): \(x^2 = 1\) или \(x = \pm 1\). 2. Для \(y_2 = -\frac{1}{4}\): уравнение \(x^2 = -\frac{1}{4}\) не имеет вещественных корней.

Итак, уравнение \(4x^4 - 3x^2 - 1 = 0\) имеет два вещественных корня: \(x = 1\) и \(x = -1\).

б) \(x^4 + 8x^2 - 9 = 0\)

Пусть \(y = x^2\), тогда уравнение станет \(y^2 + 8y - 9 = 0\).

Решим квадратное уравнение:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае: - \(a = 1\), - \(b = 8\), - \(c = -9\).

Подставим значения:

\[y = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1}\]

\[y = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2}\]

\[y = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2}\]

Таким образом, получаем два значения \(y\):

1. \(y_1 = \frac{-8 + 10}{2} = 1\) 2. \(y_2 = \frac{-8 - 10}{2} = -9\)

Теперь заменяем \(y\) обратно на \(x^2\):

1. Для \(y_1 = 1\): \(x^2 = 1\) или \(x = \pm 1\). 2. Для \(y_2 = -9\): уравнение \(x^2 = -9\) не имеет вещественных корней.

Итак, уравнение \(x^4 + 8x^2 - 9 = 0\) имеет два вещественных корня: \(x = 1\) и \(x = -1\).

в) \(x^4 + x^2 - 6 = 0\)

Обозначим \(y = x^2\), тогда уравнение примет форму \(y^2 + y - 6 = 0\).

Решим квадратное уравнение:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

В данном случае: - \(a = 1\), - \(b = 1\), - \(c = -6\).

Подставим значения:

\[y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1}\]

\[y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2}\]

\[y = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2}\]

Таким образом, получаем два значения \(y\):

1. \(y_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2\) 2. \(y_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3\)

Теперь заменяем \(y\) обратно на \(x^2\):

1. Для \(y_1 = 2\): \(x^2 = 2\) или \(x = \pm \sqrt{2}\). 2. Для \(y_2 = -3\): уравнение \(x^2 = -3\) не имеет вещественных корней.

Итак, уравнение \(x^4 + x^2 - 6 = 0\) имеет два вещественных корня: \(x = \sqrt{2}\) и \(x = -\sqrt{2}\).