Question

теорема о свойстве биссектрисы угла(доказательство)

Answer 1

Теорема - свойство биссектрисы треугольника.

Если AA1 - биссектриса внутреннего угла A треугольника ABC, то

ВА*/А*С= ВА/ АС  .

    Иными словами, биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные заключающим ее сторонам.

Доказательство.Проведем через B прямую, параллельную AC, и обозначим через D точку пересечения этой прямой с продолжением AA1 .

    Согласно свойству параллельных прямых имеем ÐBDA = ÐCAD. Так как AA1 - биссектриса, то ÐCAD = ÐDAB. Итак, ÐBDA =ÐDAB, потому BD = BA.

    Из подобия треугольников CAA1 и BDA1 (по второму признаку ÐBDA1 = ÐCAA1 , ÐBA1 D = ÐCA1A) получаем ВА*/А*С =ВD/АС  =ВА/АС  , что и требовалось доказать.

    Заметим, что можно было бы с тем же успехом провести через B прямую, параллельную биссектрисе AA1,до пересечения в точке E с продолжением CA . Тогда EA = AB и СА /АЕ =СА/АВ  . 

Answer 2

Теорема о свойстве биссектрисы угла (доказательство)

Теорема о свойстве биссектрисы угла гласит, что биссектриса угла делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные смежным сторонам угла.

Доказательство этой теоремы можно провести следующим образом:

Пусть у нас есть треугольник ABC, в котором угол BAC имеет биссектрису AD. Мы хотим доказать, что отношение длин отрезков BD и CD равно отношению длин смежных сторон BA и CA.

1. Проведем биссектрису AD угла BAC. 2. Обозначим точку пересечения биссектрисы AD с противолежащей стороной BC как точку E. 3. Докажем, что треугольники ABD и ACD подобны. - Угол BAE равен углу CAE, так как они являются вертикальными углами. - Угол ABE равен углу ACE, так как они являются углами при пересечении параллельных прямых AB и CD. - Таким образом, треугольники ABD и ACD подобны по признаку углов. 4. Из подобия треугольников ABD и ACD следует, что отношение длин отрезков BD и CD равно отношению длин смежных сторон BA и CA. - То есть, BD/CD = BA/CA.

Таким образом, мы доказали теорему о свойстве биссектрисы угла.