Question

В параллелограмме АВСД проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Докажите,что треугольник АВЕ равнобедренный.

Answer 1

АЕ-биссектриса⇒<BAE=<DAE
<DAE=<BEA-накрест лежащие
Значит <BAE=<BEA⇒ΔABE-равнобедренный

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник АВЕ является равнобедренным, нам нужно использовать информацию о параллелограмме АВСД и проведенной биссектрисе угла А.

Доказательство:

1. Пусть точка F - середина стороны ВС параллелограмма АВСД. Так как ВС - основание параллелограмма, то F - середина основания, а значит, отрезок AF является медианой треугольника АВС.

2. Проведем отрезок АЕ. Так как биссектриса угла А делит угол А пополам, то отрезок АЕ является медианой и высотой треугольника АВС.

3. Так как отрезок АЕ является медианой треугольника АВС, то точка Е делит сторону ВС на две равные части, то есть ВЕ = ЕС.

4. Из пункта 3 следует, что треугольник ВЕС является равнобедренным, так как ВЕ = ЕС.

5. Так как треугольник ВЕС является равнобедренным, то угол ВЕС равен углу ВСЕ. Также, угол ВЕС является внешним по отношению к треугольнику АВС, а угол ВСЕ является соответствующим углом. Поэтому углы ВЕС и ВСЕ равны.

6. Так как углы ВЕС и ВСЕ равны, то треугольник АВЕ является равнобедренным, так как у него две равные стороны (АЕ = ВЕ) и два равных угла (углы ВЕС и ВСЕ).

Таким образом, треугольник АВЕ является равнобедренным, что и требовалось доказать.