Question

Найдите расстояние от точки до вершины угла в 60° которая лежит на расстояний a и b от сторон этого угла

Answer 1

Точка А лежит внутри угла, равного 60°. Расстояния от точки А до сторон угла равны a и b. Найдите расстояние от точки А до вершины угла.

Расстояние от точки до прямой равно длине отрезка, проведенного перпендикулярно от точки к прямой. 

Обозначим  вершину угла В , расстояние от А до одной стороны АС=а, расстояние до другой стороны АD=b. 

 Сумма ∠С+∠D=2•90°=180° 

Сумма углов четырехугольника 360°. ⇒∠ В+∡А=180° 

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, его можно вписать в окружность. 

Опишем эту окружность. Искомое расстояние - её диаметр, т.к. на АВ опираются вписанные углы, равные 90°

Соединим С и D.

Вершины ∆ АСD лежат на окружности, он - вписан в эту окружность. 

Диаметр описанной около треугольника окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла. 

Угол САD=180°-60°=120°

По т.косинусов СD²=AC²+AD²-2•AC•AD•cos120°

CD²=a²+b²-2ab•(-1/2)=a²+b²+ab

$CD= \sqrt{ a^{2} + b^{2}+ab }$

По т.синусов АВ=2R=CD:sin120°

$AB=2 \sqrt{ \frac{ a^{2}+ b^{2} +ab }{3} }$