Question

Около окружности радиуса 6 см описан параллелограмм. Площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания равна 48 квадратных сантиметров. Найти стороны параллелограмма.

Answer 1

В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. Вписанный параллелограмм (параллелограмм, в который вписана окружность) является ромбом. Четырехугольник с вершинами в точках касания параллелограмма и вписанной в него окружности - прямоугольник. Он делится диагоналями на 4 равных прямоугольника, в которых диагональ является радиусом вписанной окружности. Квадрат диагонали прямоугольника (радиус вписанной окружности) равен сумме квадратов его сторон. У нас а²+b²=с²=36, а*b = 48:4=12. b=12/a.а²+(12/a)²=36.
Пусть а² =х. Тогда х²+144=36х или х²-36х+144=0.х1=(36+√(36²-4*144)/2 = 31,4  х2=36-26,83/2 = 4,6. Тогда а1=√31,4=5,6  а2=2,14.Прямоугольные треугольники BCD и OBD подобны (равенство острых углов с взаимно перпендикулярными сторонами). Из подобия имеем:ВС/с=5,6/2,14, откуда ВС=15,7. Прямоугольные треугольники АВК и OBК подобны (равенство острых углов с взаимно перпендикулярными сторонами). Из подобия имеем:АВ/с=2,14/5,6, откуда АВ=2,3. Сторона нашего ромба равна АВ+ВС=2,3+15,7 = 18см.
Ответ: стороны равны 18см