Question

Даю 100 баллов Знатоки ,помогайте 1)Доказать,что площадь треугольника АВС,вписанного в окружность равна S=(abc)/4R 2)Дан четырехугольник АВСД, точка О-точка пересечения диагоналей Доказать,что SAOBxSCOD=SAODxSBOC

Answer 1

1. По теореме синусов, $\frac{AB}{sinC} = \frac{BC}{sinA} = \frac{AC}{sinB} =2R$.
Выразим отсюда $sinA$: $sinA= \frac{BC}{2R}$.

Теперь воспользуемся одной из формул площади треугольника: $S= \frac{1}{2} *AB*AC*sinA$. Подставив сюда дробь вместо синуса, имеем $S= \frac{1}{2} *AB*AC* \frac{BC}{2R} = \frac{AB*BC*AC}{4R}$, что и требовалось.

2. Обозначим за $\alpha$ угол $AOB$.
Воспользуемся формулой площади треугольника из предыдущей задачи:
 $S(AOB)= \frac{1}{2} OA*OB*sin \alpha , S(BOC)= \frac{1}{2} OB*OC*sin (\pi - \alpha) \\ S(COD)= \frac{1}{2} OC*OD*sin \alpha, S(AOD)= \frac{1}{2} OA*OD*sin (\pi - \alpha)$

Заметим, что синусы вертикальных углов равны, поэтому 
$sin \alpha =sin( \pi - \alpha )$.

Подставляем значения площадей в левую и правую часть:
$S(AOB)*S(COD)= \frac{1}{4}*AO*BO*CO*DO*sin^{2} \alpha$
$S(AOD)*S(BOC)= \frac{1}{4}*AO*BO*CO*DO*sin^{2} \alpha$

Произведения площадей равны, что и требовалось.