Question

На стороне АВ квадрата ABCD выбрана точка Е так,что АВ:АЕ=√2. описанная окружность треугольника BED вторично пересекает прямую, проходящую через точку В перпендикулярна ВD, в точке F. Докажите, что треугольник ABF равнобедренный.

Answer 1

Пусть АВ=1,тогда BD=AC=√2 (диагональ квадрата со стороной, равной 1),
АО=√2/2. АЕ=√2/2 (дано). ВЕ=АВ-АЕ=1-√2/2.
DE=√(AE²+AD²)=√(2/4+1)=√6/2 (по Пифагору).
Угол ЕВD=45°(BD - диагональ квадрата - биссектриса).
По теореме синусов в треугольнике ВЕD:
2R=ED:sin 45°=√3
DF=2R (диаметр, так как <DBF=90° - дано). DF=√3.
Из треугольника DBF по Пифагору BF=√(DF²-BD²) или BF=√(3-2)=1.
Итак, BF=AB=1, то есть треугольник АВF равнобедренный, что и требовалось
доказать.