Question

25 баллов, пожалуйстаспамы/глупости банятсяв равнобокую трапецию с длинами оснований 4 и 16 вписана окружность и другая - описана. чему равно r, Rзадача описана коряво, знаю, просто нам дали только рисунок (фото):

Answer 1

Равнобедренная (так как вписанная) трапеция ABCD.
Вписанная окружность с центром О.
Описанная окружность - с центром Q.
kC=CH=2 и pD=DH=8 как касательные из одной точки.
Треугольник COD - прямоугольниый (<OCD+<CDO=90°),
r - высота из прямого угла и по свойству:
r=√CH*DH = √16=4.
Высота трапеции h=kp=2r =8.
Пусть отрезок Qp=x.
По пифагору в треугольнике QkC R²=QC²=(h-x)²+2²
а в треугольнике DpQ -  R²=x²+8²  =>
(8-x)²+2²=x²+8²  => 16x=4 и х=1/4.
Тогда QD=R=√(x²+8²)=(√1025)/4 ≈ 8,0039.
Ответ: r=4, R≈8.

P.S. Для проверки. Формула для вычисления радиуса описанной окружности (из интернета):
R=√[(ab+c²)/(4-((b-a)/c)²).
Здесь а- большее основание, b -меньшее основание, с - боковая сторона. Тогда в нашем случае:
R=√[(64+100)/(4-(12/10)²)]=√(164/2,56)=√64,0625 = 8,0039.

Answer 2

BC = 4    AD = 16
Трапеция равнобедренная - опустить высоты из В и С
По краям трапеции останется 2 прямоугольных треугольника
АК = (AD - BC)/ 2 = 6
В трапецию вписана окружность ⇒ суммы противоположных сторон равны
AD + BC = AB + CD   ⇒   20 = 2AB    ⇒  AB = CD = 10
ΔABK   Теорема Пифагора
BK² = AB² - AK² = 100 - 36 = 8²     ⇒
2r = BK = 8      r = 4

Окружность, описанная около трапеции ABCD, также описана около ΔACD.
ΔACM по теореме Пифагора
AC² = AM² + MC² = (16 - 6)² + 8² = 164     ⇒     AC = 2√41
sin∠CAM = $\frac{CM}{AC} = \frac{8}{2 \sqrt{41} } = \frac{4}{ \sqrt{41} }$

В ΔACD по теореме синусов
$2R = \frac{CD}{sin \alpha } = 10: \frac{4}{ \sqrt{41} } = \frac{10* \sqrt{41} }{4} =2,5 \sqrt{41}$
R = 1,25√41  ≈  8

Радиус вписанной окружности r = 4
Радиус описанной окружности R = 1,25√41