Question

Нужно срочно! сумма длин диагоналей выпуклого четырехугольника равна 8. Докажите, что расстояние от любой точки плоскости до хотя бы одной из вершин этого четырёхугольника не меньше 2

Answer 1

Пусть М - любая точка плоскости. Пусть каждое из расстояний от точки М до вершин выпуклого четырехугольника меньше 2, тогда
АМ+ВМ+СМ+DМ<2+2+2+2=8 (*)- сумма расстояний от точки М до вершин выпуклого четырехугольника,

по неравенству треугольника имеем
AM+BM>AB
AM+DM>AD
BM+CM<BC
CM+DM>CD
сложив получим что
2(AM+BM+CM+DM)>AB+BC+CD+AD
откуда учитывая (*)
получаем AB+BC+CD+AD<8

аналогично
AB+AD>BD
BC+CD>BD
AB+BC>AC
AD+CD>AC
или сложив
2(AB+BC+CD+AD)>2*(BD+AC)
AC+BC+CD+AD>BD+AC
получается что
8>AC+BC+CD+AD>BD+AC=8 противоречие/ Откуда получаем что уловие задачи истинно