Question

В трапеции АВСД с основаниями АВ и СД диагонали пересекаются в точке Е. Найти площадь треугольника ВСЕ, если АВ=30, ДС=24, АД=3 и угол ДАВ=60

Answer 1

В трапеции треугольники, образованные диагоналями и боковыми сторонами, равновелики. т.е. 

S ∆ АЕД=S∆ ВЕС. 

Тогда S ∆ ВЕС равна полуразности между площадью трапеции и суммой площадей ∆ АВЕ и ∆ ДЕС. 

∆ АВЕ~∆ ДЕС по равным вертикальным и накрестлежащим углам

k=24/30=4/5

Тогда 

высота h трапеции состоит из высот  этих треугольников  h1 и h2;  h1:h2=4/5 ⇒ h=9  частей этого отношения. 

точкой Е высота трапеции делится на 

 h1=h*4/9

h2=h*5/9

S ∆  АВЕ=0,5*24*4h/9=12*4h/9

S ∆ ДЕС=0,5*30*5h/9=15*5h/9

Площадь трапеции

S АВСД=(24+30)*h/2=27h

Сумма площадей треугольников при основаниях

S ∆  АВЕ+S ∆ ДЕС=12*4h/9+15*5h/9=41h/3

Сумма площадей треугольников при боковых сторонах

S АВСД – (S ∆  АВЕ+S ∆ ДЕС)=27h – 41h/3=40h/3

Площадь ∆ ВСЕ равна половине полученного значения (см. выше):

S ∆ BCE=(40h/3):2=20h/3

Найдем h   из ∆ АДН.

h=AH=AД*sin 60º

h=(3*√3):2=1,5√3

S ∆ BCE=20*1,5√3/3=10√3

Answer 2

Для нахождения площади треугольника \( \triangle BСE \) в трапеции \(ABCD\) с основаниями \(AB\) и \(CD\), где диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(E\), мы можем воспользоваться свойствами треугольников и трапеций.

Обозначим через \( h \) высоту треугольника \( \triangle BСE \) из вершины \(B\) на основание \(CD\). Мы знаем, что \( \triangle BСE \) и \( \triangle DСA \) подобны, так как соответствующие углы равны (по углу \( \angle B \) и общему углу \( \angle C \)).

Следовательно, отношение высот этих треугольников равно отношению длин соответственных сторон:

\[ \frac{h}{AD} = \frac{BE}{CD} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{h}{3} = \frac{BE}{24} \implies h = \frac{BE}{8} \]

Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle ABE \). У нас есть две стороны и угол между ними (\( \angle DAB \)). Мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[ S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE \cdot \sin \angle DAB \]

Подставим известные значения:

\[ S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot BE \cdot \sin 60^\circ \]

Так как \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), получаем:

\[ S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot BE \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15 \cdot BE \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \]

Теперь мы можем выразить высоту \( h \) через \( BE \):

\[ h = \frac{BE}{8} \]

Так что площадь треугольника \( \triangle BСE \) равна:

\[ S_{\triangle BСE} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot \frac{BE}{8} \cdot BE = \frac{BE^2}{16} \]

Теперь мы можем выразить \( BE \) через известные стороны трапеции. Обратим внимание, что \( BE = AB - AD \):

\[ BE = 30 - 3 = 27 \]

Так что площадь треугольника \( \triangle BСE \) равна:

\[ S_{\triangle BСE} = \frac{27^2}{16} \]

Вычислите это значение, и вы получите площадь треугольника \( \triangle BСE \) в данной трапеции.