Question

В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Сторона основания пирамиды равна 6√3. Расстояние от вершины основания до противоположной боковой грани равно √56. Найдите объем конуса.

Answer 1

Формула объёма конуса  

V=S*h/3

Его основание - круг , ограниченный вписанной в основание пирамиды окружностью радиуса r  . 

Радиус вписанной в правильный треугольник окружности равен 1/3 его высоты. 

Пусть основание пирамиды АВС, ВЕ - его высота.

ВЕ=АВ*sin 60º=(6√3)•(√3):2=9⇒

r=OE=9:3=3

Данное по условию расстояние √56 от вершины основания до противоположной грани - это высота ∆ МВЕ, она же катет ВН прямоугольного  треугольника ВЕН

По т.Пифагора 

ЕН=√(BE² -BH² )=√81-56=5

Высота конуса МО - катет ∆МОЕ. 

∆МОЕ~∆ВНЕ - оба прямоугольные с общим острым углом при Е. 

Из подобия следует отношение:

ВН:МО=НЕ:ОЕ

√56:МО=5:3

5МО=3√56

МО=(3√56):5

S основания=πr² = 9π

V=[(9π•3√56):5]:3=1,8π√56 (ед. площади)

Answer 2

Вроде нигде не ошиблась)))

Answer 3

Для решения этой задачи мы воспользуемся теоремой Пифагора, а также формулами для объема конуса.

Известно, что сторона основания пирамиды равна 6√3, а расстояние от вершины основания до противоположной боковой грани равно √56.

Для начала, найдем высоту треугольной пирамиды. По теореме Пифагора, высота треугольника равна √(√56)^2 - (6√3/2)^2 = √56 - (9√3/2)^2 = √56 - (9/2)^2•√3 = √56 - 81/4 √3 = √56 - 9√3/2 = (2√14 - 9√3)/2.

Теперь, можем найти радиус конуса. Так как основание пирамиды представляет собой равносторонний треугольник, его высота делит боковые стороны пополам. То есть, каждая боковая сторона треугольника равна 6√3/2 = 3√3.

Таким образом, каждая сторона основания конуса равна половине боковой стороны пирамиды, то есть 3√3/2 = √9/4•√3 = 3/2√3.

Теперь, можем найти радиус конуса. Он равен половине стороны основания конуса, то есть 3/2√3/2 = 3/4√3.

Наконец, можем найти объем конуса по формуле: V = (1/3)πr^2h, где r - радиус конуса, h - высота пирамиды.

Подставляя известные значения, получаем: V = (1/3)π(3/4√3)^2((2√14 - 9√3)/2) = (1/3)π(9/16•3)((2√14 - 9√3)/2) = (3/16)π(2√14 - 9√3) ≈ 0.59π(2√14 - 9√3).

Таким образом, объем конуса равен приблизительно 0.59π(2√14 - 9√3).