Question

Помогите пожалуйстаРебро куба АВСДА1В1С1Д1 равно 4. Точка К - середина ДД1. Точки М и Н лежат на ребрах А1В1 и АВ соответственно, причем А1М:МВ1=1:3, АН:НВ=3:1. Найдите градусную меру угла между прямыми МН и КС.

Answer 1

Впишем куб в систему координат $OXYZ$,так $D(0;0;0)$ ,обозначим стороны куба как $a$ 
$K(0;0;\frac{a}{2})\\ C(a;0;0)\\ M(\frac{a}{4};a;a)\\ H(\frac{3a}{4};a;0)\\\\ KC=(a;0;-\frac{a}{2})\\ MH=(\frac{a}{2};0;-a)\\\\ cosa=\frac{2*\frac{a^2}{2}}{\sqrt{\frac{5a^2}{4}}^2}=\frac{4a^2}{5a^2}=\frac{4}{5}\\ a=arccos(\frac{4}{5})=37а$

Answer 2

Давайте обозначим длину ребра куба как \( a \). Также, обозначим точки:

- \( A \) - вершина куба, - \( B \) - вершина куба, противоположная \( A \), - \( C \) - вершина куба, лежащая на ребре \( AB \), - \( D \) - вершина куба, лежащая на ребре \( AC \), - \( A_1 \) - середина ребра \( BC \), - \( V_1 \) - середина ребра \( AB \), - \( M \) - точка на ребре \( A_1V_1 \) такая, что \( A_1M:MV_1 = 1:3 \), - \( N \) - точка на ребре \( AV \) такая, что \( AN:NV = 3:1 \), - \( K \) - середина ребра \( DD_1 \), где \( D_1 \) - точка на ребре \( AC \).

Таким образом, у нас есть следующие отношения:

\[ A_1M:MV_1 = 1:3 \] \[ AN:NV = 3:1 \]

Теперь давайте найдем длины отрезков \( A_1M \), \( MV_1 \), \( AN \) и \( NV \).

\[ A_1M = \frac{1}{4} \cdot AV_1 \] \[ MV_1 = \frac{3}{4} \cdot AV_1 \] \[ AN = \frac{3}{4} \cdot AV \] \[ NV = \frac{1}{4} \cdot AV \]

Теперь обратим внимание, что треугольник \( A_1KN \) является подобным треугольнику \( A_1V_1M \) (по трем сторонам). Поэтому отношение их сторон также равно соотношению соответствующих сторон:

\[ \frac{A_1K}{A_1N} = \frac{A_1M}{A_1V_1} \]

Подставим найденные значения:

\[ \frac{A_1K}{\frac{3}{4} \cdot AV} = \frac{\frac{1}{4} \cdot AV_1}{AV_1} \]

Упростим выражение:

\[ \frac{A_1K}{\frac{3}{4} \cdot AV} = \frac{1}{4} \]

Отсюда найдем длину отрезка \( A_1K \):

\[ A_1K = \frac{3}{4} \cdot AV \]

Теперь обратим внимание на треугольник \( A_1KV_1 \). Угол \( \angle A_1KV_1 \) - это угол между прямыми \( MN \) и \( KS \). Этот треугольник прямоугольный, и мы можем использовать тригонометрию для нахождения угла \( \angle A_1KV_1 \).

\[ \tan(\angle A_1KV_1) = \frac{A_1K}{KV_1} \]

Подставим значения:

\[ \tan(\angle A_1KV_1) = \frac{\frac{3}{4} \cdot AV}{\frac{1}{4} \cdot AV} = 3 \]

Теперь найдем угол:

\[ \angle A_1KV_1 = \arctan(3) \]

Вычислим это значение:

\[ \angle A_1KV_1 \approx 71.57^\circ \]

Таким образом, градусная мера угла между прямыми \( MN \) и \( KS \) составляет примерно \( 71.57^\circ \).