Question

В правильной треугольной пирамиде найдите боковое ребро, если площадь основания пирамиды 3√3 см, а двугранный угол при основании 45°

Answer 1

Смотри во вложении.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства правильной треугольной пирамиды. В правильной треугольной пирамиде все боковые грани равнобедренные и равны между собой.

Обозначим боковое ребро через \(a\). Также у нас есть информация о площади основания и двугранном угле при основании.

1. Площадь основания \(S_{\text{осн}} = 3\sqrt{3}\) (в квадратных сантиметрах). 2. Двугранный угол при основании \(45^\circ\).

Площадь треугольника можно выразить как:

\[S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

где \(a\) - боковое ребро, \(b\) - высота боковой грани.

В данном случае боковая грань - прямоугольный треугольник с катетами \(a\) и \(h\), где \(h\) - высота боковой грани.

Так как двугранный угол при основании равен \(45^\circ\), то треугольник прямоугольный, и мы можем воспользоваться тригонометрией для нахождения высоты \(h\).

\[\tan(45^\circ) = \frac{h}{a}\]

Решив это уравнение относительно \(h\), получим \(h = a\).

Теперь мы можем выразить площадь боковой грани:

\[S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} \cdot a^2\]

Таким образом, \(S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \cdot a^2\).

Теперь, учитывая, что боковых граней четыре, общая площадь боковых граней:

\[S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{\text{тр}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a^2 = 2 \cdot a^2\]

Теперь мы можем записать уравнение для полной площади пирамиды:

\[S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}\]

Подставим известные значения:

\[3\sqrt{3} = a^2 + 2 \cdot a^2\]

\[3\sqrt{3} = 3 \cdot a^2\]

\[a^2 = \sqrt{3}\]

\[a = \sqrt{\sqrt{3}}\]

Таким образом, боковое ребро \(a\) равно \(\sqrt{\sqrt{3}}\) см.