Question

ABCD - ромб, СК перпендикуляр к плоскости ромба, СК = 2√3 см, АВ = 4 см, Угол ВАD = 60 градусов. Найти угол между плоскостями (АВК) и (ABCD)?

Answer 1

BCK - прямоугольный треугольник т.к. CK - перпендикуляр к плоскости ромба, а соответственно и CB. У ромба все стороны равны соответственно AB=CB=4.
$KB= \sqrt{CB^{2} +KC^{2} } = \sqrt{(2 \sqrt{3})^{2} + 4 ^{2} } = \sqrt{12+16} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$
$sinKBC= \frac{KC}{KB}= \frac{2 \sqrt{3} }{2 \sqrt7x} } = \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{7} }$

Answer 2

Давайте разберемся с задачей. У нас есть ромб ABCD, в котором AC является высотой (перпендикулярной к плоскости ромба), и SK - это расстояние от точки S до плоскости ромба. Также дано, что AB = 4 см и угол BAD равен 60 градусов.

Чтобы найти угол между плоскостью ромба (ABCD) и плоскостью, проходящей через AB и перпендикулярную к плоскости ромба (ABK), давайте следуем шагам:

1. Найдем длину AC: Так как ABCD - ромб, то AC является высотой и диагональю ромба. В прямоугольном треугольнике ABC с углом в 60 градусов, мы можем воспользоваться тригонометрическим соотношением для нахождения AC: \[ AC = \frac{AB}{\tan(\angle BAD)} \] \[ AC = \frac{4}{\tan(60^\circ)} \] \[ AC = \frac{4}{\sqrt{3}} \]

2. Найдем расстояние SK: У нас уже есть значение SK - это 2√3 см.

3. Найдем косинус угла между плоскостями (ABK) и (ABCD): Косинус угла между плоскостями можно найти, используя формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{SK}{\sqrt{SK^2 + AC^2}} \] Подставим значения: \[ \cos(\theta) = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (\frac{4}{\sqrt{3}})^2}} \] \[ \cos(\theta) = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{12 + \frac{16}{3}}} \] \[ \cos(\theta) = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{\frac{60}{3}}} \] \[ \cos(\theta) = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{20}} \] \[ \cos(\theta) = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} \] \[ \cos(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \]

4. Найдем угол между плоскостями: \[ \theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right) \]

Таким образом, угол между плоскостью ромба (ABCD) и плоскостью, проходящей через AB и перпендикулярную к плоскости ромба (ABK), равен \[ \theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right) \].