Question

1. Через вершину конуса проведена плоскость пересекающая основание по хорде, длина которой равнв 6. Угол между образующими в сечении равен 90˚, а наибольший угол между образующими конуса равен 120 ˚. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Answer 1

Sполн. пов= Sбок+Sосн
S=πRl+πR², ( l образующая)
Sполн.пов.=πR*(l+R)
1. сечение конуса - равнобедренный прямоугольный треугольник: гипотенуза - хорда х=6, катеты - образующие конуса l. 
по теореме Пифагора:
x²=l²+l², 6²=l²+l², l²=18, l=3√2
2. осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник основание - диаметр основания конуса d, боковые стороны - образующие конуса l.
по теореме косинусов: d²=l²+l²-2*l*l*cos120°
d²=18+18-2*√18*√18*(-1/2)
d²=54, d=3√6. R=1,5√6
S=π*1,5(√6*3√2+1,5)=1,5*π*(6√2+1,5)
S=1,5π*(6√2+1,5)

Answer 2

Пусть основание конуса - круг с радиусом R. Так как плоскость пересекает основание по хорде длиной 6, то радиус основания секущего круга будет равен 3.

Также известно, что угол между образующими в сечении равен 90°, а наибольший угол между образующими конуса равен 120°.

Рассмотрим сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину и перпендикулярную оси конуса. Это будет сечение вида прямоугольника, у которого одна сторона равна R (радиус основания) и другая сторона равна h (высоте конуса).

По условию, угол между образующими в этом сечении равен 90°, поэтому применим теорему Пифагора:

R^2 = h^2 + 3^2 R^2 = h^2 + 9

Теперь рассмотрим сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину и параллельную основанию. Это будет сечение вида равнобедренного треугольника, у которого два угла равны 120°, а третий угол равен 60°.

Из свойств равнобедренного треугольника, угол между биссектрисой и основанием равен 30°. Тогда применим тригонометрическую функцию тангенс:

tg(30°) = h / (R - 3) 1/√3 = h / (R - 3) h = (R - 3) / √3

Подставим это значение h в первое уравнение:

R^2 = [(R - 3) / √3]^2 + 9 R^2 = (R^2 - 6R + 9) / 3 + 9 3R^2 = R^2 - 6R + 9 + 27 2R^2 + 6R - 36 = 0 R^2 + 3R - 18 = 0 (R + 6)(R - 3) = 0

Из этого уравнения получаем два значения для R: R = -6 и R = 3. Отбрасываем отрицательное значение, так как радиус не может быть отрицательным. Значит, R = 3.

Теперь найдем высоту конуса:

h = (3 - 3) / √3 = 0

Так как h = 0, это означает, что плоскость, проходящая через вершину конуса, пересекает его основание по диаметру. В этом случае площадь полной поверхности конуса будет равна площади основания плюс площадь боковой поверхности:

S = πR^2 + πRl = πR(R + l)

где l - образующая конуса.

Так как l = √(R^2 + h^2), а h = 0, то l = R.

Подставим значения R и l:

S = π(3)(3 + 3) = 18π

Ответ: площадь полной поверхности конуса равна 18π.