Question

Найти объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 см и острым углом 30 градусов вокруг меньшего катета.

Answer 1

Решение прикреплено картинкой

Answer 2

Тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 см и острым углом 30 градусов вокруг меньшего катета, - это конус.Радиус основания - это второй катет, равный 10*cos 30° = 10*(√3/2) =
= 5√3. Меньший катет равен 10*sin 30° = 10*0.5 = 5 - это высота конуса H.
Объём конуса V = (1/3)*So*H = (1/3)*π*(5√3)²*5 = (1/3)*π*75*5 = 125π см³.

Answer 3

Чтобы найти объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника вокруг одной из его сторон, можно воспользоваться формулой для объема тела вращения. В данном случае, когда треугольник вращается вокруг меньшего катета, получится тело вращения в форме конуса.

Общая формула для объема тела вращения вокруг оси x (при вращении вокруг горизонтальной оси) выглядит следующим образом:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} f(x)^2 \,dx \]

где \( f(x) \) - это функция, задающая профиль сечения тела вращения.

В данном случае прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и острым углом 30 градусов имеет катеты, равные \( a = 5 \) см и \( b = 5\sqrt{3} \) см (по теореме Пифагора). Таким образом, у нас есть треугольник с вершиной в начале координат (0,0) и катетами, идущими вдоль осей координат.

Теперь нужно записать уравнение прямой, задающей профиль сечения. Так как у нас треугольник с гипотенузой 10 см и острым углом 30 градусов, то угол наклона прямой равен 30 градусам. Тангенс угла наклона (тангенс 30 градусов) равен \( \frac{1}{\sqrt{3}} \).

Таким образом, уравнение прямой:

\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}x \]

Теперь мы можем подставить это уравнение в формулу для объема тела вращения:

\[ V = \pi \int_{0}^{5\sqrt{3}} \left( \frac{1}{\sqrt{3}}x \right)^2 \,dx \]

Решив данный интеграл, мы получим объем тела вращения. Я рекомендую использовать программы для символьных вычислений, такие как Wolfram Alpha или MatLab, чтобы решить этот интеграл численно.

\[ V = \pi \int_{0}^{5\sqrt{3}} \frac{1}{3}x^2 \,dx \]

\[ V = \pi \left[ \frac{1}{9}x^3 \right]_{0}^{5\sqrt{3}} \]

\[ V = \pi \left( \frac{1}{9}(5\sqrt{3})^3 - \frac{1}{9}(0)^3 \right) \]

\[ V = \pi \left( \frac{1}{9} \cdot 375 \right) \]

\[ V = \frac{125\pi}{3} \]

Таким образом, объем тела вращения составляет \( \frac{125\pi}{3} \) кубических сантиметров.