Question

Докажите, что в выпуклом пятиугольнике сумма длин диагоналей больше периметра и меньше удвоенного периметра.

Answer 1

Пятиугольник ABCDE - выпуклый ⇒ все диагонали (AC,AD,BD,BE,CE) лежат внутри пятиугольника.  Периметр пятиугольника
P = AB+BC+CD+DE+EA

ΔABC :   AC < AB + BC
ΔBCD :   BD < BC + CD
ΔCDE :   CE < CD + DE
ΔDEA :   DA < EA + DE
ΔABE :   EB < AB + EA
Сложить все пять неравенств :
AC+BD+CE+DA+EB<2(AB+BC+CD+DE+EA)
AC+BD+CE+DA+EB < 2P  ⇒
Сумма диагоналей меньше двух периметров пятиугольника.

ΔAFB :   AF + BF  > AB
ΔBGC :  BG + GC > BC
ΔCKD :  CK + KD > CD
ΔDTE :  DT + TE  > DE
ΔEMA : EM + AM > EA
Сложить все пять неравенств :
(AF+GC)+(BF+EM)+(BG+KD)+(CK+TE)+(AM+DT)>AB+BC+CD+DE+EA  ⇒
(AF+GC)+(BF+EM)+(BG+KD)+(CK+TE)+(AM+DT)>P  

Добавить верное неравенство : FG+FM+GK+KT+MT > 0   ⇒

(AF+FG+GC)+(BF+FM+EM)+(BG+GK+KD)+(CK+KT+TE)+(AM+MT+DT)>P   ⇒
AC + BE + BD + CE + AD > P    ⇒
Сумма диагоналей больше периметра пятиугольника

Answer 2

Для доказательства утверждения о сумме длин диагоналей выпуклого пятиугольника, давайте рассмотрим произвольный выпуклый пятиугольник и обозначим его вершины A, B, C, D и E. Добавим диагонали, соединяющие несоседние вершины.

Пусть AC, BD и CE будут диагоналями. Теперь рассмотрим треугольники ABC, ACD, BCD, BCE и CDE.

Из неравенства треугольника для каждого из этих треугольников мы можем сказать, что сумма длин двух сторон всегда больше длины третьей стороны. Таким образом, мы можем записать следующие неравенства:

1. AC + BC > AB (для треугольника ABC) 2. AC + CD > AD (для треугольника ACD) 3. BD + CD > BC (для треугольника BCD) 4. BC + CE > BE (для треугольника BCE) 5. CE + ED > CD (для треугольника CDE)

Теперь сложим все эти неравенства:

\[AC + BC + AC + CD + BD + CD + BC + CE + CE + ED > AB + AD + BC + BE + CD.\]

Упростим выражение:

\[2(AC + BC + CD + CE) > AB + AD + BC + BE + CD.\]

Так как \(AB + AD + BC + BE + CD\) - это периметр пятиугольника, то мы можем заменить это выражение:

\[2(AC + BC + CD + CE) > \text{Периметр}.\]

Теперь докажем, что сумма длин диагоналей меньше удвоенного периметра.

Рассмотрим треугольники ABC, ABD, ABE, ACD, ACE и ADE. Применяя неравенство треугольника для каждого из этих треугольников, мы получаем следующие неравенства:

1. AC + BC > AB (для треугольника ABC) 2. AB + BD > AD (для треугольника ABD) 3. AB + BE > AE (для треугольника ABE) 4. AC + CD > AD (для треугольника ACD) 5. AC + CE > AE (для треугольника ACE) 6. AD + DE > AE (для треугольника ADE)

Теперь сложим все эти неравенства:

\[2(AC + AB + AD) + 2(BD + BE + CD + CE + DE) > AB + AD + AE.\]

Упростим выражение:

\[2(AC + BC + CD + CE + BD + BE + DE) > AB + AD + AE.\]

Так как \(AB + AD + AE\) - это также периметр пятиугольника, то мы можем заменить это выражение:

\[2(AC + BC + CD + CE + BD + BE + DE) > \text{Периметр}.\]

Таким образом, мы доказали, что сумма длин диагоналей больше периметра и меньше удвоенного периметра для произвольного выпуклого пятиугольника.