Question

Конус получен вращением прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 3 см вокруг меньшего катета. Найдите площадь осевого сечения и площадь полной поверхности конуса.

Answer 1

Площадь осевого сечения получается треугольник с высотой 3 и основанием 12 ,S = 1/2*12*3 = 18
Sполн.=$\pi$R(R+L)   L-образующая конуса,находим через теорему пифагора $\sqrt{3^{2} + 6^{2}$ = 4√5
Sполн. = 36π+18√5π

Answer 2

Давайте рассмотрим процесс получения конуса вращением прямоугольного треугольника вокруг его меньшего катета.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник со следующими сторонами: - Катет a = 3 см - Катет b = 6 см - Гипотенуза c (гипотенуза треугольника) может быть найдена по теореме Пифагора: \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)

Теперь мы вращаем треугольник вокруг меньшего катета (a), и это создает конус. Посмотрим на осевое сечение конуса.

1. Площадь осевого сечения (перпендикулярного оси вращения): Осевое сечение конуса, проходящее через вершину, будет кругом. Радиус этого круга равен половине длины гипотенузы треугольника, так как треугольник вращается вокруг меньшего катета. Таким образом, радиус \(r\) круга равен \(c/2\). Площадь круга можно вычислить по формуле \(S_{\text{круга}} = \pi r^2\).

Подставим значения: \[r = \frac{c}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\] \[S_{\text{осевого сечения}} = \pi \left(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\right)^2\]

2. Площадь полной поверхности конуса: Площадь полной поверхности конуса \(S_{\text{полн. пов.}}\) состоит из площади осевого сечения и площади боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса можно вычислить по формуле: \(S_{\text{бок. пов.}} = \pi r l\), где \(l\) - длина образующей конуса.

Образующая \(l\) равна гипотенузе треугольника: \[l = c = \sqrt{a^2 + b^2}\]

Теперь мы можем написать формулу для площади полной поверхности конуса: \[S_{\text{полн. пов.}} = S_{\text{бок. пов.}} + S_{\text{осевого сечения}}\] \[S_{\text{полн. пов.}} = \pi r l + \pi \left(\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}\right)^2\]

Подставим значения и упростим.

Это даст вам окончательные формулы для площади осевого сечения и полной поверхности конуса в зависимости от длин катетов \(a\) и \(b\).