Question

Основание АС равнобедренного треугольника равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается АС в его середине . Найдите радиус окружности вписанной в треугольник АВС

Answer 1

Обозначим треугольник АВС(смотри рисунок). Проведём радиусы О1М и О2К к боковой стороне. Треугольники О1МС и О1ДС равны по катету равному R1 и гобщей гипотенузе О1С. Аналогично равны треугольники О2ДС и О2СК. Отсюда МС=6 и СК=6. Также будут равны О1СМ=О1СД=угол1 и О2СД и О2СК=угол 2. Но угол1+угол1+угол2+угол2=180 или 2(угол1+угол2)=180. Отсюда угол1+угол2=90. А это есть угол  О1СО2. То есть треугольник О1СО2-прямоугольный. По теореме Пифагора находим R1=4,5. Кстати для заданных условий угол О1СО2 всегда будет равен 90 градусов при любых R1 и R2.

Answer 2

Пусть радиус вписанной окружности треугольника ABC равен r.

Из условия задачи известно, что окружность радиуса 8 с центром вне треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается AC в его середине.

Так как окружность касается AC в его середине, то отрезок AC является диаметром вписанной окружности. Значит, длина отрезка AC равна 2r.

Также, так как окружность касается продолжения боковых сторон треугольника, то отрезки AB и BC являются касательными к окружности. По свойству касательной к окружности, отрезки касательной и радиус, проведенный из точки касания, перпендикулярны.

Пусть точка касания окружности с AB обозначается как D, а точка касания окружности с BC обозначается как E. Тогда, AD и BE являются радиусами окружности радиуса 8.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AD и BE являются медианами и высотами. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная из вершины, делит основание пополам. Значит, AD = 12/2 = 6 и BE = 12/2 = 6.

Теперь мы можем применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику ADE, где AE = AD + DE = 6 + r и DE = 8 - r (так как DE является отрезком, проведенным из центра окружности до точки касания с BC).

По теореме Пифагора, получаем:

(6 + r)^2 = 6^2 + (8 - r)^2

36 + 12r + r^2 = 36 + 64 - 16r + r^2

12r + r^2 = 64 - 16r

r^2 + 28r - 64 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4(1)(-64) = 784 + 256 = 1040

Так как дискриминант положительный, то у уравнения есть два корня:

r1 = (-b + sqrt(D))/(2a) = (-28 + sqrt(1040))/(2) ≈ 5.13

r2 = (-b - sqrt(D))/(2a) = (-28 - sqrt(1040))/(2) ≈ -33.13

Так как радиус окружности не может быть отрицательным, то решением задачи будет r ≈ 5.13.

Итак, радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен примерно 5.13.