Question

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты AC=10см BC=12см. Найти медиану BM этого треугольника

Answer 1

Доброго времени суток! Решение данного задания предоставлено на листе А4 чёрными чернилами, надеюсь моя помощь поможет Вам правильно усвоить данный предмет.
С уважением, SkOrPiOnUs!

Answer 2

Для нахождения медианы треугольника, проведём медиану из вершины B к середине стороны AC. Обозначим середину стороны AC как точку M.

Для начала найдем координаты точек A, B и C на координатной плоскости. Пусть точка A имеет координаты (0, 0), точка B - (0, BC), а точка C - (AC, 0).

Так как M - середина стороны AC, координаты точки M будут средними координатами точек A и C, то есть (AC/2, 0).

Теперь давайте найдем уравнение прямой, проходящей через точки B и M. Уравнение прямой можно записать в виде \(y = mx + b\), где \(m\) - угловой коэффициент, а \(b\) - y-интерсепт.

Угловой коэффициент \(m\) можно найти, разделив изменение y на изменение x между точками B и M:

\[m = \frac{{y_M - y_B}}{{x_M - x_B}}\]

Имеем \(x_B = 0\), \(y_B = BC\), \(x_M = AC/2\), \(y_M = 0\).

\[m = \frac{{0 - BC}}{{AC/2 - 0}} = \frac{{-BC}}{{AC/2}}\]

Теперь у нас есть угловой коэффициент \(m\). Подставим его в уравнение прямой \(y = mx + b\) и решим его относительно \(b\), используя координаты точки B:

\[BC = m \cdot 0 + b\]

\[b = BC\]

Таким образом, уравнение прямой будет иметь вид:

\[y = \frac{{-BC}}{{AC/2}} \cdot x + BC\]

Теперь найдем точку пересечения медианы с гипотенузой, которая является осью y (y = 0). Подставим y = 0 в уравнение прямой и решим относительно x:

\[0 = \frac{{-BC}}{{AC/2}} \cdot x + BC\]

\[x = \frac{{BC}}{{AC/2}} \cdot x\]

Решая это уравнение, получаем:

\[x = \frac{{BC}}{{AC/2}} \cdot x\]

\[2x = \frac{{BC}}{{AC}} \cdot x\]

\[x = \frac{{BC}}{{AC}} \cdot x\]

\[AC = BC\]

Таким образом, точка M, через которую проходит медиана BM, расположена на гипотенузе, и её координаты равны \(\left(\frac{{AC}}{{2}}, 0\right)\).

Таким образом, медиана BM будет проходить через точку \(\left(\frac{{AC}}{{2}}, 0\right)\) и точку B. Её длину можно вычислить, используя теорему Пифагора для треугольника BMH (где H - середина гипотенузы):

\[BM^2 = BH^2 + HM^2\]

\[BM^2 = \left(\frac{{BC}}{{2}}\right)^2 + \left(\frac{{AC}}{{2}}\right)^2\]

\[BM^2 = \frac{{BC^2}}{4} + \frac{{AC^2}}{4}\]

\[BM^2 = \frac{{BC^2 + AC^2}}{4}\]

Подставим известные значения:

\[BM^2 = \frac{{12^2 + 10^2}}{4}\]

\[BM^2 = \frac{{144 + 100}}{4}\]

\[BM^2 = \frac{{244}}{4}\]

\[BM^2 = 61\]

\[BM = \sqrt{61}\]

Таким образом, длина медианы BM треугольника ABC равна \(\sqrt{61}\) см.