Question

Один из острых углов прямоугольного треугольника равняется 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета 24 см. Определить величину гипотенузы. Помогите, срочно.

Answer 1

Пусть угл А=60,тогда угл В=90-угл А=30
пусть АС=х,тогда АВ=2х(катет лежащий против угл. 30 равен половине гипотенузы)
х+2х=24
3х=24
х=8(это АС)
АВ=2*8=16

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. У нас уже есть информация о значении одного из острых углов, который равен 60°.

Обозначим катеты треугольника как \(a\) и \(b\), а гипотенузу как \(c\). Тогда можно записать следующие соотношения:

1. Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \[ \sin(\theta) = \frac{a}{c} \]

2. Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: \[ \cos(\theta) = \frac{b}{c} \]

Мы знаем, что один из острых углов равен 60°, так что будем рассматривать соотношения для этого угла.

Из условия задачи известно, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 24 см: \[ c + a = 24 \]

Теперь, используя тригонометрические соотношения, выразим \(a\) и \(b\) через гипотенузу \(c\):

\[ a = c \cdot \sin(60°) \] \[ b = c \cdot \cos(60°) \]

Подставим эти выражения в уравнение, связывающее \(c\) и \(a\): \[ c + c \cdot \sin(60°) = 24 \]

Теперь можно решить это уравнение относительно \(c\). Сначала выразим \(c\) через \(1 + \sin(60°)\): \[ c(1 + \sin(60°)) = 24 \]

Теперь найдем \(c\): \[ c = \frac{24}{1 + \sin(60°)} \]

Значение синуса 60° равно \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), так что: \[ c = \frac{24}{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Умножим числитель и знаменатель на 2: \[ c = \frac{48}{2 + \sqrt{3}} \]

Чтобы избавиться от знаменателя в дроби, умножим и числитель, и знаменатель на сопряженное выражение: \[ c = \frac{48 \cdot (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) \cdot (2 - \sqrt{3})} \]

\[ c = \frac{48 \cdot (2 - \sqrt{3})}{4 - 3} \]

\[ c = \frac{48 \cdot (2 - \sqrt{3})}{1} \]

\[ c = 48 \cdot (2 - \sqrt{3}) \]

\[ c = 96 - 48\sqrt{3} \]

Таким образом, величина гипотенузы \(c\) равна \(96 - 48\sqrt{3}\) см.