Question

Выяснить взаимное расположение прямой x-y=4 и окружности x^+y^=16

Answer 1

F(x)=x+4 - прямая
f(x)=-x+4 - окружность
Прямая является диаметром окружности

Answer 2

Чтобы выяснить взаимное расположение прямой \(x-y=4\) и окружности \(x^2 + y^2 = 16\), давайте рассмотрим их геометрические характеристики.

1. Прямая \(x-y=4):

Это уравнение прямой в общем виде \(y = mx + b\), где \(m\) - угловой коэффициент, а \(b\) - точка пересечения с осью y. Мы можем привести уравнение в такой вид:

\[x - y = 4 \implies y = x - 4\]

Таким образом, угловой коэффициент \(m = 1\) и точка пересечения с осью y \(b = -4\).

2. Окружность \(x^2 + y^2 = 16):

Это уравнение окружности с центром в начале координат \((0, 0)\) и радиусом \(r = \sqrt{16} = 4\).

Теперь рассмотрим взаимное расположение:

- Если прямая и окружность пересекаются, то есть хотя бы одна точка пересечения, то уравнение прямой должно быть выполнено на границе окружности.

- Подставим уравнение прямой в уравнение окружности:

\[(x - 4)^2 + x^2 = 16\]

Решив это уравнение, найдем значения \(x\) и \(y\).

\[x^2 - 8x + 16 + x^2 = 16\]

\[2x^2 - 8x + 16 = 16\]

\[2x^2 - 8x = 0\]

\[2x(x - 4) = 0\]

Получаем два корня: \(x = 0\) и \(x = 4\).

Подставим их обратно в уравнение прямой:

Для \(x = 0\): \(y = 0 - 4 = -4\)

Для \(x = 4\): \(y = 4 - 4 = 0\)

Таким образом, точки пересечения прямой и окружности: \((0, -4)\) и \((4, 0)\).

- Если точек пересечения нет, то прямая и окружность не пересекаются. В данном случае, таких точек нет.

Таким образом, прямая \(x-y=4\) пересекает окружность \(x^2 + y^2 = 16\) в двух точках: \((0, -4)\) и \((4, 0)\).