Question

2. Даны координаты вершин четырехугольника ABC D: A (-6; 1), B (0; 5), С (6; -4),D (0; -8).Докажите, что ABCD – прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

Answer 1

1)Прямоугольник это параллелограмм.У параллелограмма стороны попарно равны и параллельны. Т.е. их векторы равны
(вектор AB=векторуDC). Почему не CD?Потому что они должны быть сонаправлены.Не, ну можно конечно взять и CD, но не пугайтесь, если выйдут векторы с противоположными знаками.
Итак, вектор AB={0+6; 5-1}={6;4}
                    DC={0-6; -8+4}={-6;-4}
не порядок...тогда фигура должна быть не ABCD. а ABDC...уточните это у учителя
но меня это не остановит!Извините, что так много пишу.
AB=CD все-таки и ABCD у нас -параллелограмм.
У прямоугольника диагонали равны. т.е. AC=DB это отрезки, не векторы
АС=V(6+6)^2+(-4-1)^2 (V-корень квадратный) т.е. АС=13
BD=V0+(-8-5)^2 BD=13
AC=BD что и требовалось доказать.
2)Пересечение диагоналей, это их середина в прямоугольнике ⇒ вектор АО={6;-2,5} (вектор AC/2) т.е х+6=6⇒х=0; у-1=-2,5⇒у=-1.5 (это я представила вектор как разность координат А и О(х;у))
О(0;-1,5)

Answer 2

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нужно проверить, что противоположные стороны этого четырехугольника параллельны и равны по длине. После этого можно использовать свойство прямоугольника, согласно которому диагонали такого четырехугольника пересекаются в его центре под прямым углом.

1. Проверка параллельности сторон:

Сначала найдем уравнения прямых, содержащих стороны AB и CD, а также стороны BC и AD. Для этого используем формулу уравнения прямой, проходящей через две точки:

- Уравнение прямой AB: \(y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1)\), где \((x_1, y_1) = (-6, 1)\) и \((x_2, y_2) = (0, 5)\). - Уравнение прямой CD: \(y - y_3 = \frac{{y_4 - y_3}}{{x_4 - x_3}}(x - x_3)\), где \((x_3, y_3) = (6, -4)\) и \((x_4, y_4) = (0, -8)\).

- Уравнение прямой BC: \(y - y_2 = \frac{{y_3 - y_2}}{{x_3 - x_2}}(x - x_2)\), где \((x_2, y_2) = (0, 5)\) и \((x_3, y_3) = (6, -4)\). - Уравнение прямой AD: \(y - y_4 = \frac{{y_1 - y_4}}{{x_1 - x_4}}(x - x_4)\), где \((x_1, y_1) = (-6, 1)\) и \((x_4, y_4) = (0, -8)\).

Решим эти уравнения и проверим, что их коэффициенты наклона равны:

- Для AB и CD: \(\frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}} = \frac{{5 - 1}}{{0 - (-6)}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). - Для BC и AD: \(\frac{{y_3 - y_2}}{{x_3 - x_2}} = \frac{{(-4) - 5}}{{6 - 0}} = \frac{(-9)}{6} = -\frac{3}{2}\).

Поскольку коэффициенты наклона не равны, стороны AB и CD не параллельны, и стороны BC и AD не параллельны. Это означает, что ABCD не является параллелограммом, и доказательство того, что ABCD – прямоугольник, не завершено.

2. Проверка равенства длин противоположных сторон:

- Длина стороны AB: \(\sqrt{(0 - (-6))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}\). - Длина стороны BC: \(\sqrt{(6 - 0)^2 + ((-4) - 5)^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117}\). - Длина стороны CD: \(\sqrt{(0 - 6)^2 + ((-8) - (-4))^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}\). - Длина стороны DA: \(\sqrt{((-6) - 0)^2 + (1 - (-8))^2} = \sqrt{36 + 81} = \sqrt{117}\).

Противоположные стороны AB и CD не равны, и стороны BC и AD не равны, поэтому ABCD не является прямоугольником.

Итак, ABCD не является ни параллелограммом, ни прямоугольником. Вероятно, в задаче допущена ошибка в указанных координатах вершин четырехугольника. Если у вас есть правильные координаты, я могу помочь в дальнейшем решении.