Question

К касательной EF окружности с центром в точке О из концов диаметра MN проведены два перпендикулярных отрезка ME и NF. докажите, что точка касания P делит отрезок EF пополам.

Answer 1

перпендикуляр к касательной в точке касания проходит через центр. То есть он делит диаметр MN пополам, и параллелен 2 (параллельным) отрезкам ME и NF.

....не знаю, что добавить :)))

В получающейся трапеции EFNM OP - средняя линяя... впрочем, это избыточно...

Да просто по теореме об отрезках между параллельными прямыми... вобщем, все доказано.

Answer 2

Давайте рассмотрим заданную ситуацию более подробно.

У нас есть окружность с центром в точке \(O\). Пусть \(M\) и \(N\) - концы диаметра этой окружности. Проведены касательные \(ME\) и \(NF\) к окружности в точках \(E\) и \(F\) соответственно, перпендикулярные к диаметру \(MN\). Точка касания касательных \(ME\) и \(NF\) обозначена как \(P\).

Теперь для доказательства того, что точка касания \(P\) делит отрезок \(EF\) пополам, воспользуемся свойством касательных и симметрии.

1. Свойство касательных: Касательная к окружности, проведенная извне, перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания. 2. Симметрия относительно диаметра: Точка касания касательной к окружности, проведенной извне, находится на расстоянии, равном радиусу, от точки касания другой касательной.

Используя эти свойства, рассмотрим треугольники \(OMP\) и \(ONP\).

Так как \(ME\) и \(NF\) - касательные к окружности с центром в \(O\), то \(OP\) перпендикулярна \(MN\) (как радиус окружности) и, следовательно, \(MP = NP\). Также, так как \(ME\) и \(NF\) перпендикулярны к диаметру \(MN\), то \(ME \parallel NF\).

Теперь рассмотрим треугольник \(EPF\). Поскольку \(ME\) и \(NF\) параллельны, и обе перпендикулярны к диаметру \(MN\), угол \(EPF\) является прямым углом. Таким образом, \(EPF\) - это прямоугольный треугольник.

Теперь, так как \(MP = NP\) (по вышеуказанным свойствам) и угол \(EPF\) прямой, \(P\) находится на медиане \(EF\) и делит её пополам. Таким образом, точка касания \(P\) действительно делит отрезок \(EF\) пополам.