Question

Высоты осроугольного треугольника ABC, проведенные из вершин A и C, пересекаются в точке H. Докажите, что если AH=CH, то треугольник ABC равнобедренный

Answer 1

AH = HC  ⇒  ΔAHC равнобедренный  ⇒

∠HAC = ∠HCA
ΔAMC прямоугольный : ∠AMC=90°
ΔAKC прямоугольный : ∠AKC=90°
⇒  ΔAMC = ΔAKC по общей гипотенузе AC и равным острым углам ⇒
∠MAC = ∠KCA  ⇒  углы при основании AC равны    ⇒
ΔABC равнобедренный

Answer 2

Доказательство:

Для начала, давайте определим основные элементы данной задачи:

- Треугольник ABC является остроугольным треугольником. - Высоты треугольника ABC, проведенные из вершин A и C, пересекаются в точке H. - Предположим, что AH = CH.

Для доказательства, что треугольник ABC является равнобедренным, нам необходимо показать, что две его стороны равны между собой. В данном случае, мы должны показать, что сторона AB равна стороне BC.

Доказательство равенства сторон AB и BC:

Рассмотрим треугольники AHB и CHB. У нас есть следующие равенства:

- AH = CH (по условию) - HB = HB (общая сторона)

Так как два треугольника имеют две равные стороны и общую сторону, мы можем заключить, что они равны по двум сторонам (по правилу двух сторон).

Теперь мы можем применить теорему о равенстве треугольников (ТРТ), которая гласит: "Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны."

В данном случае, у нас есть равенство сторон AH = CH и общий угол при вершине H (так как высоты пересекаются в точке H). Значит, треугольники AHB и CHB равны друг другу по правилу ТРТ.

Следовательно, у нас есть равенство сторон AB = BC, так как стороны AH и CH равны.

Вывод:

Из доказательства выше следует, что если AH = CH, то треугольник ABC является равнобедренным, то есть сторона AB равна стороне BC.