Question

Прямая, перпендикулярная биссектрисе угла А, пересекает его стороны в точках В и С. Докажите, что треугольник AВС является равнобедренным.

Answer 1

Вот решение. То есть, получается, этот большой треугольник состоит из двух прямоугольных равных треугольников (прямоугольные, потому что по условию прямая перпендикулярна биссектрисе), это видно на чертеже.:)

Answer 2

Для доказательства того, что треугольник ABC является равнобедренным, нужно показать, что стороны AB и AC равны между собой.

Из условия известно, что прямая, перпендикулярная биссектрисе угла А, пересекает его стороны в точках В и С. Пусть точка пересечения этой прямой со стороной AB обозначается как D, а точка пересечения этой прямой со стороной AC обозначается как Е.

Так как AD является биссектрисой угла А, то угол BAD равен углу CAD. Из теоремы о биссектрисе также следует, что отношение длины стороны AB к длине стороны AC равно отношению длины BD к длине CD. То есть, AB/AC = BD/CD.

Также из условия известно, что прямая, перпендикулярная биссектрисе угла А, пересекает его стороны в точках В и С. Значит, угол BDA является прямым, а угол CEA также является прямым.

Теперь рассмотрим треугольники ABD и ACD. У них есть две пары равных углов: углы BAD и CAD равны по построению, а углы BDA и CDA равны, так как они являются прямыми. Таким образом, треугольники ABD и ACD подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что отношение длины стороны AB к длине стороны AD равно отношению длины стороны AC к длине стороны AE. То есть, AB/AD = AC/AE.

Из равенства AB/AC = BD/CD и AB/AD = AC/AE можно сделать вывод, что BD/CD = AC/AE.

Так как угол BDA является прямым, то из подобия треугольников ABD и ACD следует, что сторона BD равна стороне CD. То есть, BD = CD.

Теперь можно заметить, что из равенства BD = CD и BD/CD = AC/AE следует, что AC = AE.

Таким образом, мы доказали, что стороны AB и AC треугольника ABC равны между собой. Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным.